高等数学中不等式的证明方法归纳.pdf

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1、第17卷第4期长沙民政职业技术学院学报Vol.17No.42010年12月JournalofChangshaSocialWorkCollegeDec.2010高等数学中不等式的证明方法归纳李占光廖仲春刘福保(长沙民政职业技术学院，湖南长沙410004)［摘要］在高等数学中，不等式的证明是一个重要并且难掌握的知识，文中介绍了一元微积分中一些常见的不等式证明方法。［关键词］高等数学;不等式;单调性;证明［中图分类号］O172［文章标识码］A［文章编号］1671－5136(2010)04－0108－02不等式的证明是高等数学中的一个重要内容，同时也是一理

2、来证明。本文仅介绍通过拉格朗日中值定理证明不等式的方个比较难以掌握的内容。不等式的证明有一定的技巧和方法，法，利用柯西定理证明不等式的方法可仿照下例。1n+1笔者结合多年的教学经验，归纳了以下八种不等式的证明方法。1b例2:已知函数f(x)=bx，b＞1，n1，求证＜2(n+1)111一、利用函数的单调性进行不等式的证明bn－bn+1bn＜．lnb2n利用单调性来证明不等式是高等数学中一种最常用的方证明:对于0＜x1＜x2，由拉格朗日中值定理得法，其适应范围很广。它的解题思路是将所要证明的不等式作111bxx－bx=(bx)1(x－x)2x21

3、某些必要或适当的变形之后，选取适当的函数F(x)及区间［a，1lnb1lnb1b］，再利用导数确定函数F(x)在区间［a，b］内的单调性。如果=(－bx)ξ(x－x)=(－bξ)(x－x)，其中x＜ξ2212211xξ当一阶导数不能确定函数的单调性时，则利用高阶导数来判断＜x2函数的单调性，然后取函数F(x)在区间［a，b］端点处的函数值，11nn+1b－b11则可以得证不等式。在上述式子中取x=n，x=n+1，则有=bξ，12lnb2ξ2224例1:已知e＜a＜b＜e，求证lnb－lna＞2(b－a)．且n＜ξ＜n+1．e1111n+1nn+1n

4、b11b－bb242lnx即有＜bξ=＜．证毕．证明:作辅助函数φ(x)=lnx－e2x．显然，φ'(x)=x－(n+1)2ξ2lnbn242－2lnx2．φ″(x)=2．三、利用函数的最大值、最小值进行不等式的证明ex＇2当x＞e时，φ″(x)＜0，故φ(x)单调减少;从而当e＜x＜e通过函数的最大值、最小值来证明不等式是一种比较特殊2时，有φ'(x)＞φ'(e)=0．的方法，它主要是利用连续函数在区间上的最大最小值定理。22则φ(x)在区间(e，e)内单调增加，则有当e＜a＜b＜e时，其思路是求出函数在区间上的最大值M或者最小值m，则函数有φ(

5、b)＞φ(a)。在区间中的任何值都满足f(x)(M或者f(x)m。即ln2b－4b＞ln2a－4a．故ln2b－ln2a＞4(b－a)．11槡b－1e2e2e2例3:求证当x0，b＞1时，有－(成立。x+1bx+1槡b+1二、利用微分中值定理进行不等式的证明证明:令函数f(x)=1－1，(x0)，则有x+1bx+1微分中值定理在高等数学不等式的证明中的作用也是非常1bf'(x)=－+，(x0)，22大的。当不等式或其变形中有函数在两点的函数值之差f(b)－(x+1)(bx+1)f(a)时，一般可考虑用拉格朗日中值定理来证明。柯西定理是1由f

6、'(x)=0，可得驻点x=。显然，在b＞1的情况下，函拉格朗日定理的一个推广，当不等式或其变形中有两个函数在槡bf(b)－f(a)数f(x)在驻点x=1处取得最大值两点的函数值之差的比值时，一般可考虑用柯西定g(b)－g(a)槡b［收稿日期］2010－10－25［作者简介］李占光(1974－)，男，湖南宁乡人，长沙民政职业技术学院文法系副教授、硕士。研究方向:数学建模、马尔可夫骨架过程、数学教育。第4期李占光廖仲春刘福保:高等数学中不等式的证明方法归纳109f(1)=1－1=槡b－1。证明:由积分中值定理，有槡b1+1b·1+1槡b+1∫af(x)

7、dx=af(ξ)，0(ξ(a;a∫bf(x)dx=af(ξ)(b－a)，011bab2槡b槡b11槡b－1a(ξ2(b。从而有－(。证毕。x+1bx+1槡b+1由已知条件显然有b［f(ξ1)－f(ξ2)］+af(ξ2)0，则afa四、利用函数的凹凸性进行不等式的证明(ξ1)f(ξ2)(b－a)。故有baabx1+x2∫0f(x)dx∫af(x)dx，证毕。如果在所要证明的结论中包含形如f()，b21七、利用定积分的一些性质进行不等式的证明[f(x1)+f(x2)]的项，那么往往可以考虑寻找合适的函数，应2用函数的凹凸性来证明不等式。定积分的性

8、质在不等式的证明中也经常被用到，主要有定例4:已知x＞0，y＞0且x≠y，求证xlnx+ylny＞(x+y)积分的估值定理