数列与不等式证明方法归纳(练习版)

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1、数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类，16种放缩技巧，28道典型练习题，供日后学习使用。一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和（2）放缩成差比数列再错位相减求和（3）放缩成可裂项相消再求和（4）数列和比大小可比较单项二、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二项式定理（3）利用不动点定理（4）利用二次函数性质三、累加、累乘（1）累加法（2）利用类等比数列累乘四、证明不等式常用方法（1）反证法（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论五、其它方法（1）构造新数列（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（

2、4）符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和[典例1]已知数列，，，。（Ⅰ）求证：当时：；（Ⅱ）记，求证。[典例2]已知数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：。[典例3]设数列满足，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求正整数，使最小。（2）放缩成差比数列再错位相减求和[典例1]已知数列满足：，，求证：。[典例2]已知数列与其前项和满足。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：。（2）放缩成可裂项相消再求和[典例1]已知。求证：。[典例2]已知数列满足，。（Ⅰ）求证：是等比数列；（Ⅱ）求证：。[典例3]

3、设是数列前项之积，满足，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：。（2）数列和比大小可比较单项[典例1]已知数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：。[典例2]已知，圆：与轴正半轴的焦点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为。对，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）若，，则。二、公式、定理（1）利用均值不等式[典例]数列定义如下：，。证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。（2）利用二项式定理[典例]已知数列满足：，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，证明：。（3）利用不动点定理求数列通项[典例1]已知函数，数列满足，，，。

4、（Ⅰ）求的取值范围，使对任意的正整数，都有；（Ⅱ）若，，求证：，[典例2]已知函数，数列满足，，。（Ⅰ）求的实数解；（Ⅱ）是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论；（Ⅲ）设数列的前项和为，证明：。（3）利用二次函数性质[典例]在正项数列中，，，为的前项和，且（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）令，数列的前项和为。三、累加、累乘（1）累加法[典例1]已知数列，，，。（Ⅰ）求证：当时：；（Ⅱ）记，求证：。[典例2]已知，数列的首项，。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：，。[典例3]已知数列满足=且=-（）（Ⅰ）证明：1（）；（Ⅱ）设数

5、列的前项和为，证明（）.（2）利用类等比数列累乘[典例1]设，给定数列，其中，，。求证：。[典例2]已知数列满足：，且，设。（Ⅰ）比较和的大小；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设为数列的前项和，求证：。[典例3]已知函数，数列(＞0)的第一项＝1，以后各项按如下方式取定：曲线在处的切线与经过（0，0）和（）两点的直线平行（如图）求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）。[典例4]设数列满足，，其中。证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）。四、证明不等式常用方法（1）反证法[典例]设，给定数列，其中，，。求证：（Ⅰ），；（Ⅱ）如果，那么当时，必有。（2）数学归纳法

6、及利用数学归纳法结论[典例]设数列满足，，证明对：（Ⅰ）；（Ⅱ）。五、其它方法（1）构造新数列[典例]设数列满足，为的前项和。证明：对，（Ⅰ）当时，；（Ⅱ）当时，；（Ⅲ）当时，。（2）看到“指数的指数”取对数[典例]已知数列满足：，。证明：。（3）将递推等式化为递推不等式[典例]已知数列满足：，。（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，求正整数的最小值。（4）符号不同分项放缩[典例]已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）记，，求证：．