数列与不等式证明方法归纳(解析版)

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1、数列与不等式证明方法归纳共归纳了五大类，16种放缩技巧，30道典型例题及解析，供日后学习使用。一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和（2）放缩成差比数列再错位相减求和（3）放缩成可裂项相消再求和（4）数列和比大小可比较单项二、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二项式定理（3）利用不动点定理（4）利用二次函数性质三、累加、累乘（1）累加法（2）利用类等比数列累乘四、证明不等式常用方法（1）反证法（2）数学归纳法及利用数学归纳法结论五、其它方法（1）构造新数列（2）看到“指数的指数”取对数（3）将递推等式化为递推不等式（4）符号不同分项放缩一、数列求和（1）放缩成等比数列再求和

2、[典例1]已知数列，，，。（Ⅰ）求证：当时：；（Ⅱ）记，求证。[解析]（Ⅰ）令，得（*）；又，，两式相减得，即与同号（**）；由（*）、（**）得；（Ⅱ）令，得；由（Ⅰ）得单调递减，即；所以；即。[典例2]已知数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：。[解析]（Ⅰ）由得，即；所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；所以[典例3]设数列满足，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求正整数，使最小。[解析]（Ⅰ）因为，且，即数列递增，所以，则，累加得，即，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，且；累加得；即，所以；所以正整数，使得最小。（2）放缩成差比数列再错位相减求和[典例1

3、]已知数列满足：，，求证：。[解析]因为，所以与同号；又因为，所以，即，即，所以数列为递增数列，所以，即；累加得：；令，所以，两式相减得：，所以，所以；故得。[典例2]已知数列与其前项和满足。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：。[解析]（Ⅰ）设公差为，所以，解得，所以；因为，所以，两式相减得；将代入原等式，解得，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以（糖水原理）；所以，有错位相减法得，所以，。（2）放缩成可裂项相消再求和[典例1]已知。求证：。[解析]即证；因为；所以；即证；记，下证；因为；所以，即原不等式成立。[典例2]已知数列满足，。（Ⅰ）求证：是等比数列；（Ⅱ）求证：。[解析]（

4、Ⅰ）因为，，两式相减得；所以，是公比为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得；因为；所以[典例3]设是数列前项之积，满足，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求证：。[解析]（Ⅰ）因为，所以，即，所以是公差为1的等差数列，首项为2，所以，即，所以；（Ⅱ）设，因为，即是递增数列，所以，即不等式左端成立；又因为，即不等式右端成立；综上，。（2）数列和比大小可比较单项[典例1]已知数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，求证：。[解析]（Ⅰ）由得，即；所以是公比为的等比数列，首项为，所以，即；（Ⅱ）设为数列的前项和，；所以，要证，只需证，即；即，显然成立；所以，从而。[典例2]已知

5、，圆：与轴正半轴的焦点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为。对，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）若，，则。[解析]（Ⅰ）由点在曲线上可得，又点在圆上，则，，从而的方程为，由点在上得：，将代入化简得，则；（Ⅱ）原不等式化为，将不等式左右两端分别看成数列、的前项和，则只需证，即；因为，故，所以有；又因为当时，有，即，即，即；因为，所以，所以有；综上，，即二、公式、定理（1）利用均值不等式[典例]数列定义如下：，。证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。[解析]（Ⅰ）由，，得；（Ⅱ）因为，所以，累乘得；（Ⅲ）先证；由，得，即；累加得，即不等式左端成立再证；因为，所以只需证，即；因为，即；所以，即不等式右端成

6、立；综上，。（2）利用二项式定理[典例]已知数列满足：，。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，证明：。[解析]（Ⅰ）设即与比较系数得，即又，故是首项为公比为的等比数列，故；（Ⅱ）即证，当时显然成立。易验证当且仅当时，等号成立；设下面先研究其单调性；当时，；所以，所以；即数列是递减数列；因为，故只须证，即证；因为故上不等式成立；综上，原不等式成立。（3）利用不动点定理求数列通项[典例1]已知函数，数列满足，，，。（Ⅰ）求的取值范围，使对任意的正整数，都有；（Ⅱ）若，，求证：，[解析]（Ⅰ）因为（*），即，解得，所以；下证：时，恒有。因为，且，即与同号，所以恒有，由（*）得；综上，；

7、（Ⅱ）由不动点定点得与均是以为公比的等比数列；所以，，所以，即不等式左端成立；又因为；累乘得，即不等式右端成立；综上，[典例2]已知函数，数列满足，，。（Ⅰ）求的实数解；（Ⅱ）是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论；（Ⅲ）设数列的前项和为，证明：。[解析]（Ⅰ），；（Ⅱ）由（Ⅰ）及不动点定理得是以为首项，为公比的等比数列；所以，显然，所以取奇数时有，取偶数时有，即存在实数，使得对所有的都成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）得；先证；只需证（为奇数），即，即；因为为奇数，上述不等式化为；因