一道数学竞赛题的解法中蕴涵的数学思想方法

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1、一道数学竞赛题的解法中蕴涵的数学思想方法舟山市普陀第二中学孙安成史静红所谓数学思想方法是人们对数学内容的本质认识，是对数学知识和数学问题的进一步抽象和概括，属于对数学规律性的认识范畴。数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中。“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。数学中渗透基本数学思想，如果能使它们落实到我们学习和应用数学中去，那么我们的得到的是很多的。下面就2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）

2、初赛试题中第14题的几种解法中，谈谈数学思想的重要性。题目：如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_________cm2．解法一：“特殊”思想“特殊”思想就是将一般问题特殊化，从事物的特殊性中去探求它的一般的普遍规律是一种重要的数学方法．由于事物的特殊性中包含着事物的普遍性，所以在研究某些有关一般值的数学问题而直接解答有困难时，我们可以

3、不考虑一般值，而直接利用特殊值去研究解决，从而促使原问题获解.此题由于四边形AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，由题意可知，四边形CFPG的面积大小只与四边形AEPH的面积大小有关，而与它们的形状无关，因此我们可以采用“特殊”思想来解答。方法（1）当四边形AEPH是梯形，AH∥EP时，如图，显然得则而CM=BE=1GM=3-1=2所以-5-方法（2）当四边形AEPH是梯形，AE∥PH时，如图，显然得PH=2则PM=6-2=4CM=4-2=2GM=2-1=1所以在平时的教学过程中，教师能正常渗

4、透“特殊”思想，训练学生把复杂问题简单化，如果能使它落实到学生学习和运用到数学思维上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。解法二：“转化”思想“转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法.此题由于四边形AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，我们就想能否把一般的四边形转化为我们熟悉的图形来解决。有题意可知，HE∥GF，所以可以利用同底等高的三角形面积相等，把四边形AEPH的面积转化为直角三角形AEM的面积来解决。

5、如图，过点P作EH的平行线交AD于点M，由于EH∥PM∥FG则显然-5-所以如果我们在平时的教学活动中不断挖掘知识间的内在关系，不断揭示新旧知识间的内在关系，经常让同学们体会把新问题转化成熟悉的问题，而更重要的是让同学们体会转化是需要条件的,对这个条件的剖析实质上就展示了一个知识形成的过程，这样有助于帮助同学们掌握探求一个新问题解决的方法，恰好是该点，才是提高同学们素质的本源。解法三：“整体”思想整体思想就是研究某些问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考察问题的视角，将要解决的无题看作一个整体

6、，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。它是一种重要的数学观念，一些数学问题，若拘泥常规，从局部着手，则举步维艰，若整体考虑，则畅通无阻。此题由于四边形AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，我们采用分割的方法，将它们分割成一个三角形和一个梯形，这样就可以PM和PR两个量来表示这两个四边形的面积，再采用整体的思想来解决。过点P分别作AB、AC的平行线分别交BC、AD、AB、CD于N、M、R、Q.设PR=x，PM=y则所以得到-5-将3x+2y=10整

7、体代入，得教师要有意识地渗透整体思想方法的首要条件，是教师要从数学思维方法的角度对教材进行分析、研究,要善于发现和挖掘教材内容中所隐含的整体思想，做到胸中有数,由此再进一步考虑如何设计教学过程，使学生逐步领悟、理解、掌握、运用所学的整体思想。解法四：“建模”思想数学建模思想是指从实际问题中，发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程，它包括对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证等步骤。此题由于四边形AEPH和四边形CFPG是任意四边形，这对问题的解决带来困难，那么我们就想能否构建一个我们

8、熟悉的数学模型来解决，由题意可知四边形EFGH是平行四边形，所以我们可以构建平行四边形模型来解决。基本模型如图，平行四边形内任意一点与两组对边所组成的两个三角形的面积和等于平行四边形面积的一半。即显然-5-数学建模思想的教学渗透不仅仅是大学生、研究生的教育问题，在初中里逐步进行有关数学建模思想的渗透更是顺应了当前素质教育和新课程标准教学改革的需