刘书兵 实数蕴涵的数学思想方法

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1、实数蕴涵的数学思想方法数学组刘书兵　　数学思想方法是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙.为帮助大家理解数学思想方法,下面将实数中所蕴含的思想方法向大家介绍一下，希望对提高大家的学习有所帮助.　　一．特殊到一般的思想各种特殊情形往往包含着一般性的规律，我们常常通过研究特殊情形时问题的答案或解法，然后猜想、归纳出一般性的规律，并把这个规律运用到一般情形．　　例1．请你观察下列计算过程：因为112=121，所以=11；用样，因为1112=12321，所以=111；…；由此猜想=________．　　解析：观察被开方数121、12321、…，这些数字都是从两头1开始，

2、往中间依次递增的对称型数字；而121=112，12321=1112，…这就是说121，12321…，这些数的算术平方根分别是11，111，…，这些算术平方根全部由1组成，1的个数与被开方数中从两头到中间的位数一样．根据这个规律，可以猜想12345678987654321=1111111112，所以=111111111．　　二、不等式的思想　　对于所求的数学问题，通过列不等式来解决问题的一种数学解题策略.　　例2　在两个连续整数a和b之间，a<

3、,∴＜＜,即3＜＜4,所以在3和4之间.故填3或4.　　三、方程思想　　通过列方程(组)来解决问题的一种解题策略.　　例3　已知　　分析:非负,非负,而它们的和为0,所以=0,=0,即a+1=0,b-1=0,从而可求出a,b,再的值.　　解:∵且≥0,≥0,　　∴=0,=0.而a+1=0,a=-1,b-1=0,b=1.　　∴=　　四、数形结合思想　　数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微，数形结合既有助于找到解答思路，也常使解答简捷.数形结合的关键在于能将代数问题蕴含的几何图形，几何知识抽取，转化出来，再进行解决.　　例4　实数a、b在数轴上的

4、位置如图所示，那么化简

5、a-b

6、-的结果是（　　）ab0　　（A）2a-b　　　（B）b　　　（C）-b　　　（D）-2a+b　　分析：观察数轴可知：a＞0，b＜0，∴a-b＞0，∴

7、a-b

8、-=

9、a-b

10、-

11、a

12、=（a-b）-a=a-b-a=-b.故选C.　　五、分类讨论思想　　对于有的数学问题，可能有几种情况，在未具体指明哪种情况时，需要对各种情况分类考虑.保证解答完整准确,做到“不重不漏”.　　例5　已知，，且，则的值为(　　)　　（A）8　　　（B）－2　　　（C）8或－8　　（D）2或－2　　分析:由,，可得a=±5,b=±3,再由,可知a、b同号,

13、从而求得a、b的值,进而求出的值.　　解:∵,∴a=±5,b=±3.　　又∵∴a、b同号,　　即a=-5,b=-3或a=5,b=3.　　∴=±8.故选C.　　六、整体思想　　整体思想就是在数学问题中,对于有的问题,可以从整体角度思考问题,即将局部放在整体中去观察分析、探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙地解决.　　例6　已知求:的值.　　解:x+y=+(=2,x×y==1.=　总之，我们在学习过程中要充分挖掘教材中思想方法，并细心体会思想方法的运用，用思想方法去探索、感悟数学知识，努力揭示各知识之间的联系，提高思维能力和创新能力．