高等代数中蕴涵的数学思想方法.pdf

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1、第30卷第11期（上）赤峰学院学报（自然科学版）Vol.30No.112014年11月JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）Nov.2014高等代数中蕴涵的数学思想方法史秀英（赤峰学院继续教育与教师培训学院，内蒙古赤峰024000）摘要：数学思想方法是数学的灵魂，研究数学思想方法对开展数学教育、培养数学能力，都有积极的作用．本文通过典型例题这个载体，来展示高等代数中所蕴涵的数学思想方法.关键词：高等代数；数学思想；数学方法中图分类号：O15文献标识码：A文章编号：1673-2

2、60X（2014）11-0005-02在高等代数的教学及研究中，我们不仅要注重数学知件，最终使问题得到解决.识的学习、探索、研究和发展，更重要的是要注重揭示数学高等代数中很多内容都渗透着转化的思想，诸如判定知识发生过程和解决问题过程中蕴涵的思想方法.本文旨在矩阵相似问题可以转化成相应姿-矩阵的行列式因子、不变通过典型例题这个载体，探究高等代数中所体现的数学思因子或初等因子的相等问题，判定矩阵可对角化的问题可想方法.以转化成姿-矩阵的初等因子相同问题.1高等代数中分解的思想方法!姿00…0bn$所谓分解的思想，就是把一个研究对象分解成若

3、干个"-1姿0…0bn-1%子对象，或者把一个研究问题分解成若干种情况来处理的"0-1姿…0bn-2%一种思想方法分解思想也是数学中的一个重要数学方法，例2试证：A(姿)="………………%"%其实质是化整为零、化繁为简，利用局部来表示整体，通过"000…姿b2%局部的解决来攻克整体的一种行之有效的手段和方法.#000…-1姿+b1&高等代数中很多内容都渗透着分解的思想，诸如对于的不变因子为：1,2,…,1,f(姿)其中1有n-1个，f(姿)=姿n+b姿n-1+1有些行列式，直接计算几乎是不可能的，如果利用分解思…+bn-1姿+bn.想

4、，把原行列式进行分解，变成两个比较简单的行列式或者分析：本例为了求不变因子转化成行列式因子，求出行容易计算的行列式，这是一种奏效的方法，特别是与范德蒙列式因子，再利用二者的关系，进而得到不变因子.行列式相关的一些结构性的行列式.证明把第n行乘姿n-1，第n-1行乘姿n-2，…，第二行乘例1计算行列式姿，都加到第一行上，于是得到1-琢n茁n1-琢n茁n1-琢n茁n1112…1n姿00…0f(姿)1-琢1茁11-琢1茁21-琢1茁n-1姿0…0bn-11-琢n茁n1-琢n茁n1-琢n茁n0-1姿…0bn-22122…2nDn(姿)=

5、A(

6、姿)

7、=………………=f(姿)，而A(姿)的右Dn=1-琢2茁11-琢2茁21-琢2茁n，000…姿b2…………000…-1姿+b11-琢n茁n1-琢n茁n1-琢n茁nn1n2…nn下角的n-1阶子式非零常数，得Dn-1(姿)=1，从而Dn-2(姿)=…1-琢n茁11-琢n茁21-琢n茁n=D1(姿)=1，所以A(姿)的不变因子为：1,1,…,1,f(姿).其中琢1,琢2,…,琢n，茁1,茁2,…,茁n，琢i琢j≠1，i,j∈[1,n].3高等代数中猜想的思想方法分析：本行列式看上去十分复杂，直接计算几乎是不可所谓猜想的思想，就是依据

8、已知事实和相关的数学知能的，但利用分解思想，把原行列式分解开来，变成两个结识，对研究的数学对象或数学问题作出的符合数学经验和构性明显且容易计算的行列式.数学规律的一种看法或结论.猜想也是数学中的一个基本的解思想方法，其实质是利用归纳的思想方法，根据已有的结1+琢茁+琢2茁2…+琢n-1茁n-1…1+琢茁+琢2茁2…+琢n-1茁n-11111111n1n1n果，猜想所求命题的结果，再利用验证的方法证明猜想是正Dn=1+琢茁+琢2茁2…+琢n-1茁n-1…1+琢茁+琢2茁2…+琢n-1茁n-1n1n1n1nnnnnn确的一种求解方法.猜想

9、一般要经历“试验———分析———猜1琢…琢n-111…1想———验证”的思维过程.111琢…琢n-1茁茁…茁=2212n，猜想的思想方法在高等代数中有很多应用，诸如在行1…………………1琢…琢n-1茁n-1茁n-1…茁n-1列式中利用归纳的思想方法，根据已有的结果，猜想所求命nn12n=∏(琢j-琢i)∏(茁j-茁i)=∏(琢j-琢i)(茁j-茁i).题的结果，再利用验证的方法证明.1≤i

10、种转1234…化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中，136…最终获得问题解答的一种思想方法.转化思想也是数学中的D=14…一个基本的思想方法，其实质是把要解决的问题进行化繁1…为简、化难为易、化一般为特殊、