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1、高等代数中的思想方法2006年4月第23卷第2期枣庄学院JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSⅡYApt.2006Vo1.23N0.2-._-ICj同等代数中的思想方法王文省,乔立山,宋颖(聊城大学数学科学学院,山东聊城252059)[摘要]数学是基础科学的基础,数学中充盈着丰富的思想方法.本文从不同角度探讨了高等代数中的数学思想方法.●[关键词]高等代数;思想方法;抽象;化归;变换[中图分类号]015[文献标识码]A[文章编号]l0o4—7077(2006)02—0005—05做学问,做任何事情,欲事倍
2、功半,必须讲究方法.人类科学的发展从亚里士多德(Aristot—le)开始,就非常重视思想方法.近代科学之父,科学方法论的先驱F?培根(Bacon)极力提倡实验方法,笛卡JL(Desc~-tes)强调数学方法,伽利略(Galileo)仓,3x'r了实验——数学方法,5x.而创新了科学方法论,引导科学走上正确,严密的道路,成为近代科学方法的奠基人.爱因斯坦(Ein—stein)对伽利略的革命性贡献给予高度评价:"5x.亚里士多德的思想方法转变到伽利略的思想方法,这个转变成为科学基础的最主要的一块转角石."从此以后,由于
3、现代科学的迅猛发展,逐渐形成了日臻完善的科学思想方法体系.数学是基础科学的基础.数学中充盈着丰富的思想方法.恩格斯指出:"数学,辨证的辅助工具和表现形式."英国大数学家哈代(Hardy)说:"数学是所有科学中最令人好奇的,它蕴藏着最复杂的也是最迷人的方法,提供了无与伦比的展示绝对的专业技巧的机会."数学思想方法是科学思想方法体系中的重要组成部分.系统地学习和研究数学思想方法具有重要的意义.马克思曾指出:"只有掌握了数学方法,科学才能尽善尽美."本文将分别阐述高等代数中的数学思想7b-法.1抽象化的思想方法所谓抽象,就
4、是人们对获得的感性材料和感性经验,运用理性思维进行一番去粗取精,去伪存真,由此及彼,由表及里的改造制作工夫,去掉事物非本质的,表面的,偶然的东西,抽出事物本质的,内在的,必然的东西,揭示客观对象的本质和规律.简言之,抽象就是透过现象抽取本质的思维过程.抽象化的思想方法就是透过现象抽取本质的思想方法.列宁说:"物质的抽象,自然规律的抽象,价值的抽象及其他等等,一句话,那一切科学的(正确的,郑重的,不是荒唐的)抽象,都更深刻,更正确,更完全地反映着自然."自然界及其其中的事物$-n现象如此复杂,联系如此密切,没有科学抽象
5、,就没有科学的认识,就没有科学的理论.任何科学都是科学抽象的结果.数学是一门高度抽象的科学,抽象是数学中的一种基本方法,也是研究数学的基本方法.在数学中,抽象是指从研究对象或问题中抽出数量关系或空间形式而舍弃其他属性对其进行考察的思想方法.数学中的概念,关系,定理,公式,符号等都是抽象或再抽象的结果.例如欧3"~(Euler)通过数学抽象,成功地解决哥尼斯堡七桥问题.小学数学从具体事物的数量中抽象出数字,开创了算术运算的时期.中学数学用字母表示数,开创了在一般形式下研究数,式,7b-程的时期.高等代数用字母表示多项式
6、,矩阵,线性变【收稿日期]2oo6—01—12【作者简介]文省(1947一),女,山东乳山人,聊城大学数学科学学院教授.主要从事基础数学研究?5?枣庄学院2m6年第2期换等,开始研究具体的代数系统,进而又用字母表示满足一定公理体系的抽象元素,开始研究抽象的代数系统——向量空间,欧氏空间,群,环,域等.随着概念抽象化程度不断提高,其研究的对象急剧扩3v:.2化归的思想方法恩格斯指出:从一种形式到另一种相反形式的转变,是数学科学最有力的杠杆之一.化归即转化与归结的意思.把有待解决或未解决的问题,通过某种转化过程归结为一类
7、已经解决或较容易解决的问题中去,以求得解决,称为化归.化归方法是数学思想方法中的基本方法和典型方法之一.具体问题的实现,并非单独依靠化归方法所能解决,需要多方面的探索,坚持一系列的化归原则,采取有效的化归策略,还要借助于其他诸多的方法,如构造法,归纳法,比较法对应法及换元,猜想等.欧几里得(Euc1id)的《几何原本》对命题所做的巧妙选择和合乎逻辑的安排,是化归思想方法的出色应用.笛卡儿把几何问题化归为代数问题,提出了解决问题的"万能模式":即把任何问题化为数学问题,任何数学问题化为代数问题,代数问题化为方程式的问题
8、求解.在数学科学迅速发展的今天,化归方法被更为广泛普遍地运用着,并被不断具体化为一些更特殊更便于操作使用的方法,如特殊化方法,一般4.g:ki-~和关系映射反演方法等.中学数学中,化无理方程为有理方程,4-g3->~95-程为整式方程,化三元一次方程组为二元一次方程组直至一元一次方程,通过化归矩形推导平行四边形面积公式,都用到化归思想.在
