高等代数在几何中的研究

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1、学号10051107哈尔滨学院学士学位论文高等代数在几何中的应用院（系）名称：理学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：范莉娜指导教师：方晓超哈尔滨学院2014年4月12日星期六目录摘要IAbstractII前言11二阶行列式在解析几何中的应用11.1行列式的几何意义11.1.1二阶行列式的几何意义11.1.2二阶行列式性质的几何意义31.2向量内积的几何解释12三阶行列式在解析几何中的运用72.1三阶行列式的几何意义72.2三阶行列式的应用73线性方程组在解析几何中的应用73.1平面组83.2三向量共面问题93.3.空间两直线相关位置关系的判定93.4行列式在直线一般

2、方程与标准化方程互化中的应用153.5用矩阵解决线面位置关系113.6多项式恒等定理和柯西不等式在解析几何中的应用12结束语14致谢15参考文献16摘要随着现代科学技术的迅猛发展，课程改革作为教育改革的核心环节和教育改革深化的标志，在世界范围内得到广泛的关注和前所未有的重视。如何让学生在相同的时间里获得更多的知识，培养成为基础厚、素质高、能力强、富有创造力的综合素质人才，已成为课程改革的一个极其重要的方面。越来越多的与现代数学和计算机科学有关的课程在客观上要求必须重新安排课程以节省时间。高等代数与解析几何作为传统“三基”模式下的二门课程，关系非常密切，几何与代数互为问题、互

3、为方法、互相交融，因而对其进行合理的整合不仅必要而且切实可行。基于上述认识，目前已有越来越多的高等院校数学系将高等代数与解析几何二门课程合成一门新的课程，相关教材也不断出现。伴随着课程和教材的改革，相应的教学方法和手段也应得到不断的认识和改进。本文通过探讨高等代数与解析几何合并教学以后在教学内容的相互协调性、教学手段的合理性，从而说明高等代数与解析几何这么两门学科相互融合已成必然。1二阶行列式在解析几何中的应用1.1行列式的几何意义1.1.1二阶行列式几何意义二阶行列式，是平面上以行向量和向量为邻边的平行四边形的有向面积。1）若这个平行四边形是由向量沿逆时针方向转到向量而得

4、到的，面积取正值；2）若这个平行四边形是由向量沿顺时针方向转到向量而得到的，面积取负值如图（2.1）所示，以向量和向量为邻边的平行四边形的面积为：则：在这里，，为向量，之间的夹角.由上式整理得到：又因为因此得所以可得出二阶行列式的几何意义又因为所以二阶行列式的另一个几何意义，就是两个行向量或列向量的叉积的数值.1.1.2二阶行列式性质的几何意义性质2.1，为实数.这个性质就是说，一个实数乘以行列式等于一个行向量乘以这个实数的行列式.几何解释就是：两个行向量，向量所张成的平行四边形的有向面积的倍等于这样两个向量，所张成的平行四边形的有向面积，也就是.通过图（2.2）可直观的了

5、解几何解释。从图中可以看出，可以看作以向量为底的平行四边形的面积，是以向量为底的平行四边形的面积，高相同.因此，向量变化了倍，面积也变化了倍.性质2.2对于三个向量，向量和向量张成的平行四边形有向面积与向量和向量张成的有向面积之和等于向量和向量张成的平行四边形有向面积.即有：如图（2.3）和图（2.4）所示：性质2.3根据二阶行列式的几何意义可知行列式是以行向量和向量为邻边的平行四边形的有向面积.又因为所以有，即向量，共线或平行，故.几何意义：把成比例的两个向量的始端都移动到原点，则两向量会在同一直线上，显然所围成的平行四边形面积为零，即，所以行列式为零.如果两个向量相等，

6、行列式的值也为零.2.2向量内积的几何解释向量的内积也叫数量积、点积等，内积的结果是个数量而不是向量.内积的定义有两个，我们把他们列举出来的并探讨一下它们的关系.，其中，其中由公式（2.1）可知，两个向量，的内积等于两个向量的模之积再乘以它们之间夹角的余弦即可得出结论。由公式（2.2）可知，两个向量和向量的内积等于两个向量坐标分量分别对应乘积的和.我们可以运用公式（2.2)来求向量的模：在这里假设我们选定一个坐标系，轴沿着向量的方向，那么就有,则由公式(2.2)可以得到：就是向量的模乘以向量在向量方向上的分量，这个分量我们叫做向量在向量上的投影，因此公式(2.1)得证.（如

7、图2.6）因此，向量的内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积.由此我们可以推断出两向量方向相同时内积最大;两向量垂直时内积为零;两向量方向相反时内积最小，其数值为最大内积的相反数.2三阶行列式在解析几何中的应用2.1三阶行列式的定义三阶行列式的几何意义是可以表示以它的第1,2,3列为坐标的三个向量根本张成的平行六面体的有向体积.三阶行列式的几何意义是由二阶行列式推导而来.如图（2.5）由两个向量和向量张成的平行四边形为，面积为构成的行列式.那么沿着第三个方向生成无数个平行于四边形的新的平行四边形，一直到