《高等代数》的公理化思想方法的认识与研究

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1、《高等代数》的公理化思想方法的认识与研究2OO2年2期 第1卷第2期 邵阳学院(自然科学) Journal哪Universi~ Oct. Vld.1.N2 文章编号:1672—1012{2002)02—0010—03 《高等代数》的公理化思想方法的认识与研究 胡明娣赵临龙 (安康师范高等专科学校数学系,陕西,安康725000) 摘要:通过对<高等代数>课程中蕴含着大量的公理化思想方法的挖掘,阐述它在<高等代数>和其它学科中的重要作用. 关键词:高等代数;公理化;思想方法 中图分类

2、号:015文献标识码:A 日本数学家米山国藏指出:”无论是对于科学工作者,技术人员,还是数学教育工作者,最重要的就是数学的 精神,思想和方法,而数学知识是第二位的.¨,数学思想方法是数学宝库中的重要组成部分,是数学学科赖以 生存和发展的重要因素,何谓数学思想方法呢?它的研究对象是什么?广义的理解认为数学思想方法就是指数学 本身的论证,运算以及应用的思想,方法和手段;以及关于数学(其中包括概念,理论,方法与形态等)的对象,性 质,特征,作用和其产生,发展规律的认识.【2J,它是前人探索数学真理过程中逐步积

3、累起来的,它大量蕴含于各 个数学分支的定理,原理,公式,法则和解题过程中. <高等代表>教材内容在与其它各数学学科相联系之时,又有本质的相异之处,它更着意于代数结构理论的 建立,着意于整体处理思想及模式化思想的应用,它蕴含着大量数学思想方法,如公理公,模式化,关系映射反演 方法,构造法,反例法等,本文仅谈谈<高等数学》课程中蕴含的公理化思想方法及其重要作用. 1《高等代数》课程中蕴含的公理化思想方法及其重要作用 在一个数学理论系统中,尽可能少的选取原始概念和不加证明的一组公理,以此为出

4、发点,利用纯逻辑推理 的法则,把该系统建立成一个演绎系统的方法,就是公理化方法【2】. 1.1公理化方法在《高等代数》课程中的体现 (f)众所周知,线性空间的定义是用公理化方法给出的,由于公理设置与选取的不同而使线性空间的公理 系统有种种的形式【引,现就张禾瑞,郝炳新编《高等代数》(第四版)中给出的线性空间的公理系统来考虑公理 化的思想方法. 考查在,上定义两个运算”+”“*”的元素运算集合,如果下列条件被满足,称为F上的向量空间: ①口+p=p+口 ②(口+卢)y=口+(p+y) ③V中有一个零元0:

5、总存在口∈V,都有0+口=口 ④中每一个元素口都有一个口的负元素口,使a+a=0 ⑤口+(Ot+卢)=口口+ ⑥(口+b)口=口口+6口 ⑦(口6)a=口(ba) ⑧la=口 (这里a,卢,y是I,中任意元素,口,b是F中的任意数) 事实上,由①～⑧刻画了向量空间的一个可能的公理化体系,用这些公理可以证明零向量,负向量存在的 唯一性,妇=0必有,a其一为0,子空间的存在性等命题的成立,由此,R,c,,,期,(F),,C[口, 6]等等一系列向量空间在此公理系统中形成,讨论它们的思路统一为:基一坐标一维数

6、一同构一运算本质一 致. (ii)在欧氏空间中,在R上向量空间中给内积以公理化定义:为欧氏空间当且仅当<,>满足 Q)<,叩>=<,> 收稿日期:2002—06—2o 作者简介:胡明娣(1970一),女,安康师专数学系讲师,从事高等代数教学与研究. 第2期胡明娣赵临龙:<高等代数》公理化思想方法的认识与研究 ②<+,y>=<,y>+<,y> ④<口,>=a<,> ④当≠0时,<,>>

7、0. (这里,,y是V中任意向量,口是任意实数) 由①②③④为公理确定的欧氏空间,可推证出向量存在的度量性质,确定向量的夹角,方向角,<;咖>2 ≤<,><,>等等定理,进而建立欧氏空间内向量之间的关系结构,从而形成一个公理系统,此公理系 统中,,C~a,b],有了相同的讨论方式,Cauchy—Swatch不等式也就有了统一的表达式即<,>≤<, ><,>.. I.2公理化思想方法的重要作用’ (1)数学公理化方法在整理数学知识,促

8、使新理论的创立以及对整个科学理论的表述都有着重要的作用,这 种方法首先具有分析和总结数学知识的作用,把零散的数学知识用逻辑的链串联起来,使之形成完整的有机整 叠bcd aabcd bbadc Ccdab ddcba 体,这不但使人容易掌握,也便于应用. 例如,我们考查下列的结构: (i)在全体有理数集合Q中,引进普通加法运算的结构,记为【Q,+]; (ii)在全体非零实数集R.,引进普通乘法运算的结构,记为【R.’1.]; (iji)在集合