对高等代数概念的新认识

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1、对高等代数概念的新认识　　【摘要】本文分析了高等代数概念定义的三个特点，指出了高等代数概念教学应注意的问题。　　【关键词】高等代数概念特点启示　　概念是思维的基石，概念是推理的基础。作为数学教育、数学与应用数学专业的核心理论课程，高等代数蕴含丰富的数学思想和方法，形成了十分完备的理论体系。其概念还具有独特的特点：　　一、概念即思想　　高等代数的主要概念的定义都蕴含着一种重要的数学思想。线性空间，是高代的第一个由公理化体系建立的代数结构，是在研究大量数学对象（如多项式、向量、矩阵等）的基础上，提取

2、它们的共性"有2个集合（一个研究对象，另一个是相关数域），在这两个集合中定义了2种代数运算（称为代数运算，即加法和数量乘法），这2种代数运算满足8条运算法则"，并以公理化形式给出的定义。凡是具备了线性空间公理化概念结构的非空集合均可作成线性空间。如：向量空间Fn，多项式空间F[x]，矩阵空间Fm×5n等。欧式空间是另一个由公理化体系建立的代数结构，它是具有内积的实线性空间，所谓内积也是通过公理化定义的一种二元实函数，内积满足"交换律、分配律、第一变元线性性、正定性"4条公理。线性空间、欧式空间的

3、定义充分体现了公理化思想。公理化思想是数学中极为重要的基本思想方法，其精髓就是利用尽可能少的前提，得到尽可能多的结论。公理化思想的出发点是给出的基本原始概念和一组基本公理，它们必须符合相容、独立、完备三大要求，即互不矛盾、不能相互导出、公理系统的所有模型必须同构。公理化思想对对近代数学的发展起了巨大的推动作用，对现代数学的各个分支都有极其深刻的影响。不仅如此，线性空间、欧式空间都是通过对研究对象的某些相似类进行研究，用来指导对原问题的研究，建立了一种崭新的代数结构，充分体现了结构的数学思想。此外

4、，多项式全体构成多项式环F[x]，它与整数环都属同一种代数结构（环），是在与整数环类比迁移的基础上建立的，体现了类比、化归、结构的数学思想。线性方程组、线性变换、二次型的概念还体现了高等代数的另一种极其重要的思想即矩阵思想，它是利用转化的思想，同构的方法，把研究的问题转化成相应的矩阵问题，相应的矩阵问题解决后，再利用反演的思想还原成原问题解的一种思想方法。矩阵贯穿高等代数式始终，矩阵的思想方法在高等代数中体现的淋漓尽致，其应用无所不在，它不仅是一种数学思想，更是一种解决代数问题不可或缺的重要方法

5、。[1]　　二、概念即方法　　高等代数的每一个概念的定义本质上都给出了一种证明、解决问题的方法。　　例如：多项式整除定义就是证明整除问题的方法，即：要证明f（x）整除g（x），只需由已知条件出发找到一个因子h（x），使得g（x）=f（x）h（x）即可。V、W是数域F上的向量空间，σ是V到W的一个映射，要证明σ是否是V到W的线性映射，按照线性映射的定义只需证明：（1）对任意的α、β∈V，都有：σ（α+β）=σ（α）+σ（β5）（即：和之像等于像之和）；（2）对任意的k∈F，α∈V，都有：σ（kα）

6、=kσ（α）。证明一个向量空间V对所给内积是否作成欧式空间，只需证明：所给V上的内积满足欧式空间定义中的4条公理。逆矩阵的定义给出了证明矩阵可逆并寻找逆矩阵的方法，即证明矩阵A可逆并求A-1，只需找到矩阵B，使得AB=BA=E（E为与A同价的单位方阵）即可。化二次型为标准型，只需将其矩阵对角化即可。类似的例子不胜枚举。[2]　　三、概念即学法　　高等代数的每一个重要概念的定义，要么是在类比迁移中小学数学相关知识和方法的基础上产生，要么是在抽象概括中小学数学或解析几何中某些数学对象共性的基础上以公

7、理化定义形式给出，要么是在研究中小学数学无法解决的问题时，创造一种新的工具，化归到新的方法系统中解决。例如：一元多项式理论的研究属第一种情形，是在迁移整数的整除及其性质的基础上建立的，向量空间、线性变换、欧式空间属第二种情形，线性方程组、线性变换、二次型的研究则属第三种情形，是创造了行列式、矩阵新工具及新的运算系统，将问题化归为行列式、矩阵形式来解决。这种做法本身就给学习者示范了概念的产生过程，同时也示范了一种在已有知识、方法的基础上提出问题、分析问题、类比迁移已有知识和方法研究解决问题的学习方

8、法。　　四、高等代数概念特点给教学的启示5　　首先，应密切联系中小学数学的知识和思想方法，强化类比和迁移。目前教学中理论到理论的平行研究较多，从上（高代）至下（中小学数学）或从下至上的研究较少，应用数学思想方法的研究更少，致使高校数学教学一定程度上脱离了基础教育课程改革，影响了教育的质量。如：多项式理论的教学，应注意迁移中学数学的解题思想方法；线性方程组的教学，应注意类比迁移中学数学方程组的消元法变换；线性空间和欧式空间的教学，应注意横向联系空间解析几何的知识和思想方法；二次型的教学，应注意联系