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时间:2020-09-29
《高等代数§1.3 整除的概念.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1.3整除的概念一、整除1.定义定义1设若存在使得则称整除记作①时,称为的因式,为的倍式.②不能整除时记作:当时,如果则除所得的商可表成注:例11)x+1
2、x2-1?2)x2–1
3、x+1?例22
4、3?例3设问例4设f(x)≠0,问1)f(x)
5、0?2)0
6、f(x)?2、性质性质1设则(1)自反性f(x)
7、f(x);(2)传递性若f(x)
8、g(x),g(x)
9、h(x),则f(x)
10、h(x);(3)相伴性若且,则存在,使得注:若且,则称与相伴。性质2设,则对任意,有推论1若且则二、带余除法定理1设且则存在使得成立,其中或并且这样的是唯一决定的。1、带余除法称 为 除
11、的商, 为 除的余式。①若则令结论成立.②若设的次数分别为证:当时,结论成立.显然取即有下面讨论 的情形,假设对次数小于n的,结论已成立.先证存在性.对作数学归纳法.次数为0时结论显然成立.设 的首项为的首项为则与首项相同,因而,多项式若令即可.若由归纳假设,存在使得现在来看次数为n的情形.的次数小于n或为0.其中或者于是即有使成立.的存在性得证.由归纳法原理,对再证唯一性.若同时有其中其中和则即但矛盾.所以从而唯一性得证.推论2设且则整除的判定例1设除的商式为余式为求除的商式与余式。例2用除,求商式与余式,其中2、综合除法+)的商式和余式可按下列计算格式求得:
12、这里,若则除例3求 除 的商式和余式去除①求一次多项式的商式及余式.②把表成的方幂和,即表成的形式.说明:综合除法一般用于141解:∵10 0 0 0 0例4把表成的方幂和.111111111111=1232345=11113613614141110=5=10=3、带余除法与数域扩大的关系性质3带余除法与数域扩大无关。即,设是数域且由带余除法,使得则且推论3整除关系不因数域扩大改变。
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