高等代数教案：1.3多项式的整除

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1、第一章多项式理论课题§1.3多项式的整除性授课时间授课时数1学时教学目的及要求1.使学生熟练掌握多项式的带余除法;2.使学生牢固掌握多项式整除的定义和基本性质;教学重点1.多项式的带余除法定理;2.多项式整除的定义与基本性质.难点1.多项式的带余除法定理;2.多项式整除的定义与基本性质.教学方法讲授法教学的主要内容和过程注记通过上一节的学习,我们已经知道集合对多项式的加法,减法和乘法是封闭的,但是对乘法的逆运算—除法运算,并不封闭.这也是我们研究多项式的整除性的主要原因.定理1.3.1(带余除法定理)设是一个

2、数域,且,则存在唯一的使得教学的主要内容和过程注记(1)其中或.注1定理1.3.1的证明过程给出了求和的具体的过程,习惯上称为商式,为余式.例1设,,求除所得的商式和余式.定义1设,,如果存在使(2)则称整除,记作.如果这样的不存在,则称不整除,记作.当时,称是的因式.注2如果是的因式且,则显然有.下面利用带余除法给出整除性的一个判别法:定理1.3.2若,则(1)式中的.例2试确定使能够整除.注3根据整除的定义,对任意多项式,如下事实成立:(1)(零多项式);(2);(3),为非零常数.下面我们为大家介绍关于

3、整除的几个常用性质:定理1.3.3且.(整除的传递性)定理1.3.4且,为非零常数.定理1.3.5且.定理1.3.6如果,都成立,则对于任意的多项式我们有.注4需要指出的是:根据商式和余式是唯一存在的这一事实可知,多项式的整除关系不因数域的扩大而改变.例3证明:对任意多项式和任意非零常数恒有.例4证明:且且.此处需强调!作业P20第1题(2),第2题参考文献1.张禾瑞,郝丙新,《高等代数》（第四版）,高等教育出版社,1999年.2.北京大学数学系,《高等代数》（第三版）,高等教育出版社,1999年.3.北京大

4、学几何与代数教研室代数小组,《高等代数》（第二版）,高等教育出版社,1988年.4张贤科，汗浦华，《高等代数》（第二版），清华大学出版社，2004年.教学后记讲授本节内容时应特别强调带余除法和整除概念的对比与区别.