高等代数第三版§1.3整除的概念

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1、多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系，却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。第一章多项式§1数域§2一元多项式§3整除的概念§4最大公因式§5因式分解§6重因式§7多项式函数§8复、实系数多项式§9有理系数多项式§10多元多项式§11对称多项式HigherAlgebra§1.3整除的概念一、带余除法二、整除主要内容对一定存在使成立，其中或一、带余除法定理并且这样的是唯一决定的．称　　为　　除　　的商，　　为　　除的余式．①若则令结论成立．②若设的次数分别为

2、证：当时，结论成立．显然取即有下面讨论　　　的情形，假设对次数小于n的，结论已成立．先证存在性．对作数学归纳法．次数为０时结论显然成立．设　　的首项为的首项为则与首项相同，因而，多项式的次数小于n或f1为0．若令即可．若由归纳假设，存在使得现在来看次数为n的情形．其中或者于是即有使成立．的存在性得证．由归纳法原理，对再证唯一性．若同时有其中其中和则即但矛盾．所以从而唯一性得证．＋)附：综合除法的商式和余式可按下列计算格式求得：这里，若则除去除①求一次多项式的商式及余式．②把表成的方幂和，即表成的形式．说明：综合除法一般用于例1求　　除　　的商式和余式解:由＋)１　　－１　　

3、－１　　　０１有１4１解:∵1０　　０　　０　　０　　０例２.把表成的方幂和．１１１１１１１１１１１１=１232345=１１１136１3614１41110=5=10=二、整除1．定义设若存在使则称整除记作①时，称为的因式，为的倍式．②不能整除时记作：③允许，此时有即区别：零多项式整除零多项式，有意义．除数为零，无意义．④当时，如果则除所得的商可表成定理12．整除的判定3．整除的性质1)对有对有即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式．时，　与　　有相同的因式和倍式．2)若　　　，则3)若则证：若则使得使得若则皆为非零常数．4)若（整除关

4、系的传递性）成立．故有5)若则对有注：反之不然．如但6)整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．例3．求实数　　　满足什么条件时多项式整除多项式附：整数上的带余除法对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r，使a＝qb＋r，其中作业P441.2)2.2)3.2)4.2)