§1.1整除的概念及带余除法

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1、第一章整数的可除性整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。§1整除的概念及带余数除法一、整除的概念定义1设a，b是整数，b¹0，如果存在整数q，使得a=bq（1）成立，则称a能被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b½a；如果不存在整数q使得a=bq成立，则称a不被b整除，记为显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。定理1下面的结论成立：(ⅰ)b½aÛ±

2、b½±a；(ⅱ)c½b，b½aÞc½a；(ⅲ)b½ai，i=1,2,…,nÞb½a1q1+a2q2+…+anqn，此处qi（i=1,2,L,n）是任意的整数；(ⅳ)b½aÞbc½ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ)b½a，a¹0Þ

3、b

4、£

5、a

6、；b½a且

7、a

8、<

9、b

10、Þa=0。12二、带余数除法定理1(带余数除法)设a与b是两个整数，b>0，则存在唯一的两个整数q和r，使得a=bq+r，0£r

11、找规律判定“300”位于哪个字母的下面ABCDEFG1234567891011121314151617…….解：观察可以发现两行7个数组成一组故300=7×42+6与6同在字母D的下面例4除以商为，余数为，则除以商为，余数为。12例5某整数除以3余2，除以4余1，该整数除以12，余？三、整除的特征从正整数的末位起向左每个数码分为一节，最后剩下若有不足个数码的也为一节，记为并记----数节和----数节代数和1、设是的约数，则推论：能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。推论：能被4或25整除的数的特征是：这个数的末二位数能被4或25整除。

12、推论：能被8或125整除的数的特征是：这个数的末三位数能被8或125整除。2、设是的约数，则推论：能被3或9整除的数的特征是：这个数的各位数字之和能被3或9整除。例235476能被9整除？3、设是的约数，则或12推论：能被11整除的数的特征是：这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。推论：能被7、11、13整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7、11、13整除；4、举例例1345750209能被7整除？例2由1、2、3、4、5、6能否组成各位数字不重复的而又能被11整除的六位数？为什么？例3某七位数

13、1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，求该数。例4任何一个三位数顺写两遍，必能被7、11、13整除。例5求证：例6求证：例7若，且，求数例8有一位小学生错将写成四位数，结果恰有求数12例9任取一个六位数乘以234567，用A表示其积各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,用C表示B的各位数字之和，求C。例10某学校买了72台相同的录音机，共花了△679□元。在△□填上合适的数。例11下面的这个四十一位数能被7整除，求数例12设，证明：若，12则证明：即而故12§2最大公约数与辗转相除法一、有关概念1、公因数及个数，总和；2、最大公约数；

14、3、互质数；4、两两互质；二、辗转相除法定理1：设是不全为0的整数，且，为整数则（1）与有相同的公因数；（2）定理2：设为正整数，则推论：的公因数与的因数相同。例证明:当时，为既约的真分数。例求及12三、最大公因数的性质1、为正整数2、为的公因数3、4、设，，则§3整除的进一步性质与最小公倍数一、整除的进一步性质定理：设为任意的正整数，则其中，推论：设为任意两个不全为0的整数，则存在两个整数使得成立，反之不成立。例如有定理：存在整数使得例求整数使推论1：设为整数，且，则12（1）与有相同的公因数；（2）推论2：若，且则推论3：若是两组任意的整数，且，则（）=

15、1二、最小公倍数1、定义：2、说明：；；关系：公倍数与最小公倍数的关系；最小公倍数与最大公因数的关系；例如当时，则若都是正整数，且，则一个数除以36和48都余5，则这个数是。，若，则3、多个整数的最小公倍数的求法如何？，，则§4质数及算术基本定理一、质数121、定义：2、说明：范围；数1；最小的质数是23、性质：、是大于1的整数，其大于1的最小的正因数必为质数；、若为合数，则满足：；、质数与整数的关系：或若，则二、算术的基本定理1、定理1：设，其中，，为质数并且，其中，，为质数则，推论1：若，则能唯一地表示为：----叫标准分解式其中，为质数，且推论2：：设

16、则2、筛选法：（造质数表）3、结论：质数的个数有无穷