多项式的整除性和带余除法.ppt

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1、多项式整除性理论主要讨论任给两个多项式f(x),g(x),是否有g(x)整除f(x)以及与此相关的多项式的最大公因式,多项式的因式分解等问题.在讨论一元多项式的整除性理论时,带余除法是一个重要定理,它给出了判断多项式g(x)能否整除多项式f(x)的一个有效方法;并且是讨论一元多项式的最大公因式及多项式根的理论基础.1-3多项式的整除性和带余除法带余除法定理:对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中(g(x)≠0,一定有P[x]中的多项式q(x)和r(x)存在,使得Definition5.(整除的定义)称P[x]上的多项式g(x)整

2、除f(x),如果存在P[x]上的多项式h(x),使得▲g(x)≠0,g(x)│f(x)等价于g(x)除f(x)的余式零.▲q(x)和r(x)的求法与中学的方法基本相同.在做除法时,可以分离系数,因为ｎ次多项式是由它的ｎ＋1个系数唯一确定的,(做除法时按降幂排列).由定义不难看出1.零多项式被任意一个多项式整除;2.零多项式不能整除任意非零多项式;3.任意多项式一定整除它自身.4.零次多项式(非零常数)整除任意多项式.当g(x)≠0时,由带余除法定理得到Theorem1.对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,则

3、g(x)

4、f(x)的充分必要条件是g(x)除f(x)的余式为零.整除性的几个常用性质:1.任一多项式f(x)都能被cf(x)整除2.如果f(x)

5、g(x),g(x)

6、f(x),则f(x)=cg(x)(c≠0);3.如果f(x)

7、g(x),g(x)

8、h(x),则f(x)

9、h(x);4.如果g(x)

10、f(x),则对任意多项式u(x)都有g(x)

11、u(x)f(x);5.如果f(x)

12、g(x),f(x)

13、h(x),则对任意多项式u(x),v(x)都有f(x)

14、(u(x)g(x)+v(x)h(x));值得注意的是:多项式的整除不是运算,它是Ｆ[x]元素

15、间的一种关系,类似于实数集R元素间的大小关系,相等关系;多项式的整除性是不因数域的扩充而改变的.即当数域扩充时,作为扩充后的数域上的多项式f(x)和g(x),g(x)除f(x)的商式和余式仍然是上面的q(x)和r(x).为什么?补充:综合除法课堂小结1.整除的概念及性质2.带余除法定理3.整除的定义及性质4.整除与带余除法的关系5.综合除法原理作业：认真复习总结所学知识，作学习笔记；P－44－2、3、4认真地完成