《多项式的整除性》PPT课件

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1、§7.2多项式环多项式的整除性域上关于文字x的多项式设F是域，х是一个抽象的符号，F上面一个文字х的多项式形式如下：a0хn+a1хn-1+…+an-1х+an其中n，n-1，…是非负整数，系数a0，a1，…，an∈F。х的多项式可用ƒ（х），g（х）等代表。Note:若n=0，则此多项式只有一个“常数项”a0，可看作是F中的元素a0。系数是0的项可以删可添。定义.两个多项式ƒ(х)和g(х)说是相等的，即ƒ(х)=g(х)，如果可以添上一些系数是0的项使两个多项式完全一样。结论：ƒ(х)=0当且仅当所有系数a0，a1，…，an都是0。结论：

2、若ƒ(х)≠0，则总可以删去一些系数是0的项将f(x)化为a0хn+a1хn-1+…+an-1х+an的形式,其中a0≠0,这时,a0和n显然都是唯一确定的。多项式相等多项式运算规定加法ƒ(х)+g(х)：ƒ(х)与g(х)的同次项的系数相加。乘法ƒ(х)g(х):ƒ(х)的每一项乘g(х)的每一项:aхr·bхs=abхr+s,然后合并同次项,且以加号相联结.结论：域F上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有壹的交换环，记为F[х]，称谓域F上的交换环。F[х]包含F为其子域，F中的0就是F[х]的零，F中的1就是F[х]的1，-ƒ(х

3、)就是把ƒ(х)的所有系数取负所得到的多项式。例子例设域F={0,1}，则F[x]={0,1,x,1+x,x2,1+x2，x+x2,1+x+x2,…}。这个域称为二元域，应用在电话、电报、电视、传真、计算机中数据传输、打印机、VCD机、CD机纠错码上，以及卫星图片的传输等。多项式的次定义.若ƒ(х)≠0，且已化为a0хn+a1хn-1+…+an-1х+an的形式，其中a0≠0，那么，a0称为ƒ(х)的首系数，n称为ƒ(х)的次数.ƒ(х)的次数记为次ƒ(х)。规定：常数多项式0的次数是-∞。结论：次(ƒ(х)+g(х))≤max(次ƒ(х)，

4、次g(х))结论：次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х)+次g(х)证明:(1)若ƒ(х)≠0，g(х)≠0，设ƒ(х)=a0хn+a1хn-1+…+an-1х+an,a0≠0，g(х)=b0хm+b1хm-1+…+bm-1х+bm,b0≠0，故ƒ(х)g(х)=a0b0хn+m+…+anbm,a0b0≠0，因此,次ƒ(х)g(х)=n+m=次ƒ(х)+次g(х).(2)若ƒ(х)，g(х)中有一个是多项式0,则ƒ(х)g(х)=0,次ƒ(х)g(х)=-∞,由于-∞+m=-∞，n+（-∞）=-∞，-∞+（-∞）=-∞，故次ƒ(х)g(х)=次ƒ(х

5、)+次g(х)。例子例试证域F上的多项式环F[x]的理想都是主理想.证:设I是F[x]的一个理想.若I中没有非零多项式,则I={0},它是由0生成的理想.若I中有非零多项式,设其中次数最低的为g(x).对于它有两种情况:(1)次g(x)=0,即g(x)=aF,且a0.a在F中有逆元a-1,a-1a=1I,故I=F[x],是由1生成的主理想.(2)次g(x)0,任取f(x)I,存在q(x),r(x)F[x]使得f(x)=q(x)g(x)+r(x).因为g(x)I,且I是F[x]的理想,推出r(x)I.由于g(x)的取法知必有r(

6、x)=0,因此f(x)=q(x)g(x)(g(x)).有f(x)的任意性知I(g(x)).反之,g(x)I,对任意h(x)F[x],g(x)h(x)I,从而(g(x))I.综上知I=(g(x)),证毕.域F的多项式商环有该例题知多项式环F[x]上的理想都是主理想,即F[x]的理想都是I=(p(x))的形式,其中p(x)=a0xn+a1xn-1+…+an,a00.那么域F的多项式商环F[x]/I={f(x)+I

7、f(x)F[x]},而f(x)=q(x)p(x)+r(x),f(x)-r(x)(p(x)),即f(x)+I=r(x)

8、+I.所以F[x]/I={b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1+I

9、b0,b1,…,bn-1F}={

10、b0,b1,…,bn-1F}这里，一个多项式r(x)=b0xn-1+b1xn-2+…+bn-2x+bn-1它的次小于n，上面加一杠成是表示=r(x)+I,它是模p(x)的剩余类。例如，令F2={0,1},F上的多项式环记为F2[x]。令p(x)=1+x+x2，则F上模1+x+x2的多项式环F[x]/1+x+x2={0,1,x,1+x}。关于模的加法与乘法运算如下表。F2[x]/(p(x))=F2[x]/(1+x+x2),令

11、I=(1+x+x2),则F2[x]/(p(x))={0+I,1+I,x+I,1+x+I}={,,,}。其运算表与模p(x)的多项式环运算类似，只不过是每一项多了理想