多项式的整除.ppt

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1、§2.5多项式的整除设F是一个数域，F[x]是F上一元多项式环。一、多项式整除的定义与性质。<一>多项式整除的定义定义：令f(x)和g(x)是数域F上多项式环F[x]的两个多项式，如果存在F[x]的多项式h(x),使g(x)=f(x)h(x)则称f(x)整除（能除尽）g(x).记为f(x)

2、g(x)此时称f(x)是g(x)的因式，g(x)是f(x)的倍式。否则，则称f(x)不整除g(x),记作f(x)†g(x).注：1.f(x)

3、g(x)不能写作f(x)/g(x),以免与分式混淆。2.整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素间的一种关系。3.若f(x)

4、g

5、(x),则(f(x))(g(x))4.若f(x)†g（x），则对任意h(x)∈F[x],g(x)=f(x)h(x)均不成立。问题：1。零多项式能否整除零多项式？2。任意非零多项式能否整除零多项式？3。零多项式能否整除任意非零多项式？4。零次多项式能否整除任意多项式？5。零次多项式能否被任意多项式整除？分析：1。因h(x)∈F[x],均有0=0h(x)成立，故0

6、0有意义。2。对0≠f(x)∈F[x],不存在0h(x)∈F(x),使0=f(x)h(x)成立。欲使0=f(x)h(x)成立，只有h(x)=03。对0≠f(x)∈F[x],不存在h(

7、x)∈F[x],使f(x)=0h(x)成立。4。对f(x)∈F[x],0≠C∈F，均有f(x)=C(f(x))5。对g(x)∈F[x],0≠C∈F,若存在h(x)∈F[x],使C=g(x)h(x),则g(x)与h(x)均为零多项式。结论：1。零多项式能整除且仅能整除零多项式。2。零多项式能被任意多项式整除（即零多项式有任意多高次的因式）。3。零次多项式只能被零次多项式整除。4。零次多项式整除任一多项式。<二>多项式整除的基本性质1。如果f(x)

8、g(x),g(x)

9、h(x),那么f(x)

10、h(x).证明：f(x)

11、g(x)h1(x)F[x]使g(

12、x)=f(x)h1(x)……（1）g(x)

13、h(x)h2(x)F[x]使h(x)=g(x)h2(x)……（2）由（1），（2）得h(x)=f(x)(g(x)h2(x))即f(x)

14、h(x)2。如果h(x)

15、f(x),h(x)

16、g(x),那么h(x)

17、(f(x)+g(x)).证明：h(x)

18、f(x)(x)F[x],使f(x)=h(x)(x)……（1）h(x)

19、g(x)(x)F[x],使g(x)=h(x)(x)……（2）由（1），（2）得f(x)+g(x)=h(x)((x)+(x))即h(x)

20、(f(x)+g(x)).注：此命题的逆

21、命题不一定成立。例1.令h(x)=x,g(x)=x²-1,g(x)=x²+1,有h(x)

22、(f(x)+g(x))，但h(x)†f(x),h(x)†g(x).3。如果h(x)

23、f(x),那么g(x)F[x],均有h(x)

24、f(x)g(x)证明：h(x)

25、f(x)(x)F(x),使f(x)=h(x)(x)，得f(x)g(x)=h(x)((x)g(x)),即h(x)

26、f(x)g(x)注：此命题逆命题不一定成立。例2.令h(x)=(x-2)(x-3),g(x)=(x-2)²,f(x)=(x-3)².有h(x)

27、f(x)g(x),但h(x)†g(x)且

28、h(x)†f(x).4。若h(x)

29、f2(x),(i=1,2,……，t),那么gi(x)F[x],(i=1,2,……，t),有h(x)

30、(f1(x)g1(x)+f2(x)g2(x)+…+fi(x)gi(x))5。每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，其中0cF.证明：由f(x)=(cf(x)),可得。注：1。每一个多项式f(x)都能整除cf(x),其中cF.2。g(x)

31、f(x)g(x)

32、cf(x).(cF)g(x)

33、f(x)cg(x)

34、f(x).(0cF)即：f(x)与cf(x)(cF)有相同的因式。f(x)与cf(x)(0c

35、F)有相同的倍式。6。若f(x)

36、g(x),g(x)

37、f(x),那么f(x)=cg(x),其中0cF.证明：由f(x)

38、g(x)(x)F[x],使g(x)=f(x)(x)……（1）由g(x)

39、f(x)(x)F[x],使f(x)=g(x)(x)……（2）由（1），（2）得：f(x)=f(x)(x)(x)若f(x)=0,则由（1）知g(x)=0,从而f(x)=g(x).若f(x)=0,则由（1）知(x)(x)=1，于是，（(x)(x)）=0，从而（(x)）=0，（(x)）=0，令(x)=c,(0cF)则有

40、：f(x)=cg(x).说明：若f(x)与g(x)均