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1、【标题】浅谈多项式的整除问题【作者】陈春容【关键词】多项式 整除 整系数 有理系数 元二元多项式【指导老师】冯彬【专业】数学与应用数学【正文】【标题】浅谈多项式的整除问题【作者】陈春容【关键词】多项式 整除 整系数 有理系数 元二元多项式【指导老师】冯彬【专业】数学与应用数学【正文】1 引言多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一.多项式同时也是中学代数中的一个基本概念，其理论和方法是高等代数中的一个重要组成部分.而多项式的整除问题又是其中较为重要的一个内容，所以对于多项式整除的研究非常重要. 能否用根式求解的方法，判断多
2、项式的整除问题，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题.一元二次多项式的根相对容易.三次多项式的根需要引入复数来表示.四次多项式的情况也是如此.自上世纪以及本世纪以来，很多数学工作研究者对多项式整除的理论和判别方法研究已取得了许多重要的进展，例如：杨峻，吴忠林[1],陈惠汝[2]等对多项式整除的理论和判别方法研究已取得了很大的成功.但这些理论主要适用于整系数多项式，而对于有理数域的研究还不是很多,而且这些理论还不够完善.所以，多项式的整除问题还有待我们进一步去研究.本文引入和研究多项式的整除问题.主要研究以下内容：一是在整数域中研究多项式以及有关多项式整除理论；二是利用这
3、些理论，探究在整数域内多项式整除的判别方法，特别是矩阵判别法和带余除法判别法和同余判别法以及互素判别法；三是把这些判别方法延伸到有理数域上，进一步探究在这些数域上多项式的整除问题；最后在研究 元二元多项式的整除问题.2 整系数一元多项式的判别方法2.1. 常用的几种判别方法在这一节中,我将总结一下有关整系数一元多项式的一些常用整除判别方法,并将其运用到具体的问题中,从中去体会关于多项式整除性质的重要性以及如何灵活运用这些性质去解决题目.2.1.1. 利用单位根及因式定理此方法的关键在于熟练的掌握因式定理(即 的充要条件是 )和单位根的性质,结合整除的传递性去证明命
4、题.多项式 在复数域上的每一个根被称为 次单位根. 例1.设 ,证明: 证明:令 是 的根,有 ,则 ,所以 是 的 次单位根.又因为 ,所以 是 的根.由于 无重根,则 .2.1.2. 利用熟知的乘法公式此方法关键在于熟练的掌握乘法公式,(例如: 等等)理解公式蕴涵的整除意义,再去解题.例2.求证: .证:因为 且 ( )因而 由性质(2)即得结论.2.1.3. 利用整除的判别定理利用这种方法求解问题的关键是把整除转化为带余除法中所得的余式为零.对于 ,若有 ,其中 ,则有 .例3.证明 的充要条件是 ,其中 ﹑ 是非负整数.证明:必要性：若 ，则有 ，其中
5、是整数.则: ,即有 充分性:若 ,令 ,其中 .则有: 又因为 ,且 ,则: .由此得, .由整除判别定理知: .综上所诉,结论得证.2.1.4. 利用不可约多项式的性质利用这种方法求解问题的关键是要熟知不可约多项式的性质(例如: 为不可约多项式等价于对于任意 属于 有 或 ,理解其本质，并能够灵活运用.定义:若 在 中仅有平凡因式,则称 为 的不可约多项式. 性质:若 在 中不可约当且仅当 的任一分解式 中,一定有零次因式. 例4.设 不可约且与 有一公共复根,则 .证:由条件知必有 (否则存在 使 ,令 取公共复根,那么 矛盾),故 .2.1.5. 利用待
6、定系数法此方法关键是利用等式两边多项式的各系数相等来求解.例5.试确定 ﹑ 的值,使 .解:因为 ,故设 ,其中 ﹑ 是整数.比较两边同次项系数相等可得: 解得: .2.1.6. 利用因式分解的唯一性定理利用这种方法求解问题的关键是深刻理解因式分解的唯一性定理，明确任意两个多项式都可以分解成一些相同的不可约多项式的连乘积这一结论.例6.求证 的充要条件是 .证:充分性显然,下证必要性.当 为常数或 时易证,下设 且 .由因式分解定理可设 与 的典型分解式如下: , .由 可得 ,由此可得 .2.1.7. 利用最大公因式的性质利用这种方法求解问题的关键是深刻理
7、解最大公因式的概念及其性质.定义:设 ,若有 中的多项式 满足 是 与 的公因式,而且 能被 与 的任一公因式整除,则称 是 与 的一个最大公因式.例7.若 ,则 .证: 当 为常数或 时,命题显然成立.因此只需证 且 时的情形.用反证法证明如下:若 不整除 ,令 ,则有 > .又因为最大公因式的性质可得 .而已知 ,所以 是 与 的公因式.结合最大公因式的定义可知 ,则 , ,这与 > 矛盾,因此结论成立.2.2. 新的判别方法在这一节我将介绍三种新的判定整系数多项式整除的方法,并进一步加以运用,在此最重要的一点是将多项式整除的判
