多项式的带余除法

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1、《线性代数(2)》序言一、教学参考书[1]许甫华编,线性代数(2)学习指导,清华大学出版社,2003[2]俞正光等编,线性代数与空间解析几何学习指导:典型例题精解,科学出版社,2003年.二、教学与辅导可在网络学堂下载本讲稿欢迎网络学堂上提问讨论答疑从第2周起,每周四下午5:00～6:00,理科楼A107讨论课:第5、7、9、11、13周1三、作业与考试成绩作业:30%:每周四以班为单位提交上周作业期末:70%四、学习中要注意的问题提前预习,体会思路,掌握基本内容.在此基础上:多动手,勤思考,深入体会思

2、想方法:自己动手推证书中每个结果尽量体会结论、证明的思想方法用自己喜欢的方式写出简要总结(包括习题中重要结论).2五、学习要求1.按时上课,不要迟到.2.课堂内可以喝水,但不许吃东西.3.上课期间不许接听手机.手机必须置于无声状态.4.有问题请招手示意或大声提问.5.独立完成作业.6.及时反映对课程的建议或意见.3六、线性代数(1)回顾研究对象线性代数的核心:空间与变换对空间的认识分局部和整体:局部:向量的线性关系整体:基,维数,内积,…对空间的研究方法:直接:研究抽象的向量间接:化为坐标来研究线性代数

3、中变换分两类:空间结构类与空间变换类空间结构类:基变换引起坐标变换空间变换类:线性变换4思想方法结构化:向量组的极大无关组解空间基础解系空间的基标准型:矩阵相抵,合同,相似标准形二次型的标准形与规范形研究工具行列式矩阵线性方程组5第一讲一元多项式的带余除法定义1设F为一个数域,x是不属于F的任一个符号(或文字),则形式表达式称为F上的符号(或文字)x的一元多项式,其中若则n称为其次数,记为degf=n.我们约定两个多项式相等它们的次数相等,且各同次项系数均相等,并约定deg0=-.数域上的符号(或文

4、字)x的形式多项式与中学代数中的多项式(x是变量)没有本质的区别.例1设F是一个数域,对任意一个非负整数n,有线性无关.证明用反证法,若不然,存在不全为零的a0,a1,,anF,使得a0+a1x++anxn=0,则F中任意n+1个不同的数c1,c2,,cn+1是a0+a1x++anxn的根,所以6所以a0=a1==an=0,与a0,a1,,an不全为零矛盾.7数域F上多项式全体记为F[x],在F[x]中定义加法和乘法：定理1deg(fg)max{degf,degg}.定理2deg(fg

5、)=degf+degg.证明不妨设f(x)0,且g(x)0,则f(x)和g(x)的首项系数均0,而f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数乘以g(x)的首项系数0,故deg(fg)=degf+degg.定理3设F为一个数域,F[x]中的多项式乘法有消去律.证明f(x),g(x),h(x)F[x],若f(x)g(x)=f(x)h(x),且f(x)0,则g(x)=h(x).反证法:若g(x)h(x),则g(x)-h(x)的首项系数0,而f(x)(g(x)-h(x))的首项系数等于f

6、(x)的首8项系数乘以g(x)的首项系数0,与f(x)g(x)=f(x)h(x)矛盾,故g(x)=h(x).证毕易证多项式的加法和乘法有结合律,交换律,乘法对加法有分配率.例如乘法结合律：9带余除法定理设F是一个数域,则f(x),0g(x)F[x],总存在q(x),r(x)F[x],使得f(x)=g(x)q(x)+r(x),这里degr(x)

7、)的次数,则取q(x)=0,r(x)=f(x)即可.否则,记这里令记则由归纳假设存在q2(x),r(x)F[x],使f1(x)=g(x)q2(x)+r(x),这里degr(x)

8、x))=deg(q(x)–p(x))+degg(x)

9、f(x)；否则称g(x)不能整除f(x).整