小学奥数带余除法

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1、2.6带余除法2.6.1相关概念在整数范围内，整数a除以整数b（b≠0），若有a÷b＝q……r，（即a=bq+r），0≤r＜b。当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。2.6.2余数的性质⑴被除数=除数×商＋余数，除数=（被除数－余数）÷商，商=（被除数－余数）÷除数。⑵余数小于除数。2.6.3同余定理（1）如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。（a、b、c均为正整数）例如，17与11除以3的余数都

2、是2，所以17-11能被3整除。（2）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（3）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16

3、）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。性质（2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。2.6.4典型例题例15122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=26×79。由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，

4、得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。解：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙

5、=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。例4有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之

6、间的约数有29和58。因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。例5求478×296×351除以17的余数。分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余数是1。例6甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个

7、成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。因为甲数除以36余11

8、，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。（11×25）÷36=7……23，即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。例79437569与8057127的乘积被9除，余数是__。讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。7×3=21