高等代数(第三版)1.3

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1、1-3整除的概念设F是一个数域.F[x]是F上一元多项式环.定义1，如果存在，使得，则称整除，记为，此时称是的因式，否则称不能整除，记为1、多项式的整除概念（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）2、多项式整除性的一些基本性质定理，且，则存在使得这里，或者并且满足上述条件的只有一对注1：分别称为所得的商式和余式注2：3、多项式的带余除法定理证：先证定理的前一部分.（i）若,或.则可以取（ii）若,且按降幂书写:这里,并且，并记有以下性质：或者若是.则对重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：使得而由于多项式的次数是递

2、降的,故存在k使，于是便给出了所说的表示。现在证明定理的后一部分．假设f(x)有两种符合定理中要求的表示法：那么上式右边或者为零，或者次数小于而左边或者是零，或者次数不小于因此必须两边均为零，从而是两个数域，并且，那么多项式环含有多项式环F[x]．因此Ｆ上的一个多项式也是上的一个多项式．，则如果在F[x]里不能整除，那么在里也不能整除事实上，若，那么由于在F[x]里不能整除不能等于0．因此在里显然仍不能整除4、系数所在范围对整除性的影响假定，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：并且．但是F[x]的多项式都是的多项式，因而在里，这

3、一等式仍然成立．于是由的唯一性得出，在里也不能整除例1确定m，使例2设适合什么条件时，整除综合除法比较上等式中两端同次项的系数,我们得到5、综合除法由此得出这样,欲求系数,只要把前一系数乘以c再加上对应系数,而余式的r也可以按照类似的规律求出.因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例3用x+3除作综合除法:所以商式是而余式是作业：P44：1，2，3，4(2)