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《高等代数与解析几何1.3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§3用坐标表示向量引入一个定点O,让向量自由位置向量于是:位置向量几何空间中的点问题:怎样表示几何空间中的点呢?一、坐标系(仿射标架)ggdggdggd定理3.1:给定空间三个不共面的向量e、e、e，d123则对空间中任意一个向量r，必存在唯一的实数，x,y,z使得dggdggdggdr=xe+ye+ze123dggdggdggd1)图示表明r=xe+ye+ze1232)再证唯一性推论3.2空间中四个或四个以上的向量必线性相关.定义3.1空间中任意三个有序的线性无关（即不ggdggdggd共面）的向
2、量e、e、e称为向量空间的一个123d基.对于空间中的向量r，若dggdggdggdr=xe+ye+ze123dggdggd则把有序的三元实数组(x,y,z)称为r在基e1、e2、ggde下的坐标.3d由于向量r完全由其坐标唯一确定，故可把向量记为dr=(x,y,z)显然,两个向量相等<>它们在同一个基下的坐标相同.定义3.2空间中取定的原点O和一个基合在一起ggdggdggd称为空间的一个仿射坐标系.记作[o;e,e,e].123gggdggdggdggd对于空间中任意一点P,向量OP在基e,12
3、e,e3下的ggdggdggd坐标称为点P在仿射坐标系[o;e12,e,e3]下的坐标.ggdggdggd点P在[o;e,e,e]下的坐标为(x,y,z)123gggdggdggdggd<>OP=xe12+ye+ze3=(x,y,z)dggdggdggdd以后把向量r在基e,e,e下的坐标也称为r123ggdggdggd在仿射坐标系[o;e,e,e]下的坐标.123在空间中取定仿射坐标系之后,空间中的点就与有序三元实数组建立了一一对应关系.ggdggdggd设[o;e12,e,e3]为空间中的一个仿
4、射坐标系,过ggdggdggd原点分别与e,e,e同向的有向直线分别称为x轴,123y轴,轴,统称为坐标轴,它们确定的平面称为坐标z平面,它们分别为xoy、yoz、yox平面.坐标平面把空间分成八个部分,称为八个卦限.在每个卦限内,点的坐标的符号不变.zggde3ggdeggd2我们通常使用的坐标系都是e1Oy右手系.x二、向量的线性运算与坐标的关系以后我们在谈向量或点的坐标时,都假定在空间ggdggdggd中取定了一个仿射坐标系[o;e,e,e].123dd设向量a=(a12,a,a3)bb=()
5、12,b,b3ddggdggdggdggdggdggda+b=(a11e+a2e2+a3e3)+(b11e+b2e2+b3e3)ggdggdggd=()a11+be1+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3=(a11+b,a2+b2,a3+b3)dd即的a+b坐标是(a+11b,a2+b2,a3+b3).即两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和,这一结果可表示为:(a12,a,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)类似地,对kR∈,有dggdggdggdka=kae+ka
6、e+kae112233=k(a12,ka,ka3)即ka的坐标为(ka12,ka,ka3),这一结果可表示为:k(a12,a,a3)=(ka1,ka2,ka3)命题3.3一个向量的坐标等于其终点坐标减去始点坐标.例1求线段的定比分点.即已知A(aa12,,a3),B(bb12,,b3),C点分线段AB成定比kk(≠−1)gggdgggd（ACk=CB),求C点坐标.例2证明三角形三条中线相交于一点.
