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1、§4对称变换及其典范形前面讨论的对称双线性函数及二次型都与对称矩阵有密切联系.本节讨论欧氏空间中与对称矩阵有关的一类线性变换对称变换.定义4.1欧氏空间V的线性变换A如果满足(A(α),βα)=(,A(β)),∀∈α,βV则称它为对称变换.命题4.1设A为欧氏空间V的对称变换.如果W是A⊥的不变子空间,则W的正交补W也是A的不变子空间.⊥证明对于任意βα∈∈WW以及任意,由于A(α)∈W,故(α,A(βα))=(A(),β)=0⊥⊥这说明A(β)∈W,即W是A的补变子空间.命题4.2欧氏空间V的线性变换A是对称变换的充分必要条件是A在V的任意一个规范正交基下的矩阵是(实)对称矩阵.证
2、明(必要性)设η1,,?ηn是V的一个规范正交基,A在这个基下的矩阵是Aa=(),则ijn×nn(,(ηηijA))=(ηi,∑aakjηk)=ijk=1n((Aηηij),)=(∑aakiηk,ηj)=jik=1因为A是对称变换,所以aa=,,ij=1,?,nijji这说明矩阵A是对称矩阵.(充分性)设线性变换A在V的一个规范正交基η1,,?ηn下的矩阵是对称矩阵A.对于V中的任意两个向量:α==(,ηη??,)XY,β(η,,η)11nn有A(α)==(ηη,,??)AX,A(β)(η,,η)AY11nn于是TTTT(A(α),βα)==(AX)YXAY=X(AY)=(,A(β)
3、)所以A是对称变换.引理4.3设A是一个n阶实对称矩阵,则A的特征值都是实数.引理4.4设A是欧式空间V的对称变换,则V中属于A的不同特征值的的特征向量是正交的.现在来证明如下主要定理.定理4.5对于任意一个n阶实对称矩阵A,都存在一个T−1n阶正交矩阵T,使得TAT=TAT是一个对角矩阵.证明由于实对称矩阵与对称变换的关系,只要证明对于n维欧氏空间V的任意对称变换A,V都有一个由A的特征向量构成的规范正交基.我们对空间的维数n作归纳法.当n=1时,结论显然成立.设n-1时结论成立.对于n维欧氏空间V的对称变换A,它一定有一个实,ξ特征值λ,相应的特征向量是ξ1不妨设1是单位向量.1
4、设子空间L()ξ的正交补为W,则W是A的n-1维不变子1空间.限制变换A
5、W是W的对称变换.根据归纳假设,A
6、W有n-1个特征向量ξ,,?ξ构成W的规范正交基.从而2nξ,,ξξ?,是V的规范正交基,而且它们都是A的特征12n向量.下面讨论求正交矩阵使T−1TAT=TAT成为对角矩阵的方法.易见,对角矩阵T−1的对角元就是矩阵ATAT=TAT的特征值,而T的列向量就是A的属于这些特征值的特征n向量,它们构成R的规范正交基.于是,求正交矩阵T就n相当于在R中求一个由A的特征向量构成的规范正交基.求正交矩阵T的具体步骤:(1)求出A的特征多项式χλA()=λEA−的全部不同的根λ1,,?
7、λr,它们就是A的全部不同的特征值.(2)对每个特征值λi,求出齐次线性方程组()λEA−X=0i的一个基础解系,它们就是特征子空间V的一个基.λi用Schmidt正交化方法把这个基正交化、单位化,得到V的一个规范正交基η,,?η.λiii1ki(3)把上面得到的各特征子空间的规范正交基合并n起来,就得到R的一个规范正交基η,,??ηη,,,,?η.111kr11rkr以这些基向量为列向量构成的矩阵T就是所要求的正交矩阵T.例4.1设⎛⎞500⎜⎟A=03−2⎜⎟⎜⎟⎝⎠02−3T求正交矩阵T使TAT成为对角矩阵.解A的特征多项式为λ−5002χλ()=−λEA=0λ−32=(λ−1
8、)(λ−5)A02λ−3故A的特征值为1和5(二重).对于特征值λ=1,求出齐次线性方程组(1EA−)X=0的基础解系为⎛⎞0⎜⎟α=11⎜⎟⎜⎟⎝⎠1把它单位化,得⎛⎞⎜⎟0⎜⎟11⎜⎟ηα==11⎜⎟α21⎜⎟⎜⎟1⎜⎟⎝⎠2对于特征值λ=5,求出齐次线性方程组(5EA−)X=0的一个基础解系为⎛⎞10⎛⎞⎜⎟⎜⎟αα=0,=−123⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠01⎝⎠把它们正交化,得⎛⎞1⎜⎟βα==022⎜⎟⎜⎟⎝⎠0⎛⎞0(,αβ32)⎜⎟βα=−=βα=−13323⎜⎟(,ββ)22⎜⎟⎝⎠1再单位化,得⎛⎞⎜⎟0⎛⎞1⎜⎟11⎜⎟⎜⎟1ηβ==0,η=β=−22⎜⎟33⎜⎟ββ
9、23⎜⎟⎜⎟2⎝⎠0⎜⎟1⎜⎟⎝⎠2所求正交矩阵为⎛⎞⎜⎟010⎜⎟⎜⎟11T=−0⎜⎟22⎜⎟⎜⎟11⎜⎟0⎝⎠22而⎛⎞100T⎜⎟TAT=050⎜⎟⎜⎟⎝⎠005定理4.6任意实二次型Tqx(,?,x)=XAX(其中A是实对称矩阵)1n都可以经过一个正交线性替换XT=Y()T是正交矩阵化为222λyy++λλ?+y1122nn其中λ,,λλ?,是矩阵A的全部特征值.12n
