高等代数与解析几何7.8

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1、§8曲面的交线与曲面围成的区域一、空间曲线的一般方程：空间曲线C可看作空间两曲面的交线.⎧Fx(,y,z)=0C:⎨⎩Gx(,y,z)=022⎧x+y=1例8.1方程组⎨表示怎样的曲线？⎩2x+3y+3z=6解22x+y=1表示圆柱面，2x+3y+3z=6表示平面，22⎧x+y=1⎨交线为椭圆.⎩2x+3y+3z=6⎧222z=a−x−y⎪例8.2方程组⎨aa2表示怎样的曲线？22⎪(x−)+y=⎩24解z=a2−x2−y2上半球面,2a22a(x−)+y=圆柱面,24交线如图.（维维安尼曲线）二、空间曲线在

2、坐标面上的投影⎧Fx(,y,z)=0设空间曲线的一般方程：C:(⎨1)⎩Gx(,y,z)=0消去变量z后得：H(x,y)=0(2)(2)称为曲线沿z轴的射影柱面.射影柱面(2)的特征：1)凡x,y,z坐标满足方程(1)的点，其x,y坐标必满足方程(2),因此曲线(1)在曲面(2)上；2)它是一个母线平行于z轴的柱面方程。空射间影曲柱线面类似的：方程(1)消去yR得(x,z)=0称为曲线沿y轴的射影柱面;消去xT得(,yz)=0称为曲线沿x轴的射影柱面.⎧Fx(,y,z)=0空间曲线C:⎨⎩Gx(,y,z)=0

3、也可表示成任意两个射影柱面的交线：⎧Hx(,y)=0⎧Hx(,y)=0⎧Rx(,z)=0⎨或⎨或⎨⎩Rx(,z)=0⎩Ty(,z)=0⎩Ty(,z)=0⎧Hx(,y)=0曲线C在xoy面上的投影：⎨⎩z=0⎧Ty(,z)=0曲线Cy在oz面上的投影：⎨⎩x=0⎧Rx(,z)=0曲线Cz在ox面上的投影：⎨⎩y=022⎧xy+−z=0例8.3求空间曲线Γ⎨(1)沿三个坐标轴的射影柱面方程。⎩zx=+1解：由(1)消zz得曲线Γ沿轴的射影柱面方程：22xy+−(1x+)=0由(1)消yy得曲线Γ沿轴的射影柱面方程

4、：zx=+(1)由(1)消xx得曲线Γ沿轴的射影柱面方程：22(1zy−+)−z=0