高等代数教学教案7.8.ppt

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1、§8若当标准形介绍一、若当(Jordan)形矩阵二、若当(Jordan)标准形由§7.5知，n维线性空间V的线性变换在某组基下的矩阵为对角形有n个线性无关的特征向量.的所有不同特征子空间的维数之和等于n.可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵为对角形.本节介绍，在适当选择基下，一般的线性变换的矩阵能化简成什么形状.引入的矩阵称为若当(Jordan)块，其中为复数；一、若当(Jordan)形矩阵定义：形式为由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.如：都是若当块；而下面的准对角形则是一个若当形矩

2、阵.注：一级若当块就是一级矩阵，从而对角矩阵都是若当形矩阵.1、设是复数域C上n维线性空间的一个线性变换，在V中必存在一组基，使　在这组基下的矩阵是若当形矩阵，并是除若当块的排列次序外，该若当形由唯一决定，称之为的若当标准形.二、若当(Jordan)标准形2、任一n级复矩阵A总与某一若当形矩阵相似，并且除若当块的排列次序外，该若当形矩阵由矩阵A唯一决定，称之为矩阵A的若当标准形.3、在一个线性变换　的若当标准形中，主对角线上的元素是　的特征多项式的全部根（重根按多数（1、2、3的证明将在第八章给出）计算）.的矩阵为

3、若当(Jordan)块.附：有时也规定形式为§9最小多项式一、最小多项式的定义二、最小多项式的基本性质由哈密尔顿―凯莱定理，是A的特征多项式，则因此，对任定一个矩阵，总可以找到一个多项式　　　　　使多项式　　以A为根.引入本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的那个与A的对角化之间的关系.此时，也称一、最小多项式的定义定义：设在数域P上的以A为根的多项为A的最小多项式.式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称二、最小多项式的基本性质1.（引理1）矩阵A的最小多项式是唯一的.证：设都是A的最小多项式.由带余除

4、法，可表成其中或于是有由最小多项式的定义，即，同理可得，又都是首1多项式,故2.（引理2）设　　是矩阵A的最小多项式，则以A为根证：充分性显然，只证必要性由带余除法，可表成其中或于是有由最小多项式的定义，由此可知：若是A的最小多项式，则　　整除任何一个以A为根的多项式，从而整除A的特征多项式.即3.矩阵A的最小多项式是A的特征多项式的一个因子.例1、数量矩阵kE的最小多项式是一次多项式特别地，单位矩阵的最小多项式是　　　；零矩阵的最小多项式是.反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵.例2、求　的

5、最小多项式.解：A的特征多项式为又∴A的最小多项式为4.相似矩阵具有相同的最小多项式.证：设矩阵A与B相似，分别为它们的最小多项式.由A相似于B，存在可逆矩阵T,使从而也以B为根，同理可得从而又都是首1多项式，反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：的最小多项式皆为　　　　　　但A与B不相似.注：即所以，A与B不相似.5.（引理3）设A是一个准对角矩阵并设的最小多项式分别为.则A的最小多项式为的最小公倍式.证：记首先，即A为的根.所以　被A的最小多项式整除.则从而其次，如果从而故为A的最小多项式.若A是一个准

6、对角矩阵且的最小多项式为则A的最小多项式是为推广：特别地，若　　　　　　　　　两两互素，即则A的最小多项式是为6.（引理4）级若当块的最小多项式为证：J的特征多项式为而的最小多项式为7.（定理13）与对角矩阵相似的最小多项式是P上互素的一次因式的积.证：由引理3的推广，必要性显然.只证充分性.根据矩阵与线性变换之间的对应关系，设V上线性变换在某一组基下的矩阵为A，则则的最小多项式与A的最小多项式相同,设为若为P上互素的一次因式的乘积：则其中（此结论的证明步骤同定理12）把各自的基合起来就是V的一组基.从而A相似于对

7、角矩阵.特征向量.所以,在这组基下的矩阵为对角矩阵.在这组基中，每个向量都属于某个，即是　的8.与对角矩阵相似的最小多项式没有重根.练习：求矩阵的最小多项式.又的最小多项式为解：A的特征多项式而作业P326271)