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1、陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案第八章欧氏空间§8.2度量矩阵与正交基§8.2度量矩阵与正交基教学目的通过本节的学习，让学生理解度量矩阵的概念，同时掌握规范正交基的定义及在规范正交基下的内积、坐标的算法及规范正交基的求法—正交化过程，最后掌握正交矩阵的有关概念教学难点度量矩阵的概念，规范正交基的求法—正交化过程教学重点度量矩阵的概念，规范正交基的定义及在规范正交基下的内积、坐标的算法，规范正交基的求法—正交化过程 教 学 过 程备 注教学引入设V是一个n维欧氏空间,取V的一个基{e1,e2,…,en}
2、,对V中任意两个向量a＝x1e1＋x2e2＋…＋xnen,b＝y1e1＋y2e2＋…＋ynen.由内积的性质得áa,bñ＝áx1e1＋x2e2＋…＋xnen,y1e1＋y2e2＋…＋ynenñ＝.令áei,ejñ＝aij,(i,j＝1,2,…,n).显然aij＝aji.于是áa,bñ＝aijxiyj.(1)利用矩阵,áa,bñ还可以写成áa,bñ＝XTAY.其中XT＝(x1,x2,…,xn),YT＝(y1,y2,…,yn)，分别是a,b的坐标,而对称矩阵A＝(aij)n´n称为基{e1,e2,…,en}的度量
3、矩阵.上面的讨论表明,在知道了一个基的度量矩阵后,任意两个向量的内积就可以通过坐标按(1)来计算,因而度量矩阵就完全确定了内积.教学内容一、度量矩阵定理8.2.1n维欧氏空间V的两个基的度量矩阵是合同的,且度量矩阵是正定的.证设{e1,e2,…,en}与{g1,g2,…,gn}是V的两个基,它们的度量矩阵分别是A＝(aij)与B＝(bij).两个基之间的过渡矩阵是C＝(cij),即因为bij＝ági,gjñ＝ác1ie1＋c2ie2＋…＋cnien,c1je1＋c2je2＋…＋cnjenñ第6页共6页陇南师专
4、数学系《高等代数》精品课程教案第八章欧氏空间§8.2度量矩阵与正交基＝ckicsjáek,esñ＝ckicsjaks.另一方面,令D＝CTA＝(dij),CTAC＝DC＝(eij),那么,D的元素dis＝.CTAC的元素eij＝＝＝bij.所以CTAC＝B.最后证明V的基{e1,e2,…,en}的度量矩阵A是正定的.任取一组不全为0的实数a1,a2,…,an，令a＝，那么a¹0.由于(a1,a2,…,an)A＝áa,añ>0，因此A正定.□例1取欧氏空间R2[x]的一个基e1＝1,e2＝x,e3＝x2.则áe
5、1,e1ñ＝,áe2,e2ñ＝,áe3,e3ñ＝,áe1,e2ñ＝áe2,e1ñ＝,áe1,e3ñ＝áe3,e1ñ＝,áe2,e3ñ＝áe3,e2ñ＝.所以这个基的度量矩阵为.二、规范正交基1.规范正交基的定义定义1欧氏空间中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一个正交向量组.定理8.2.2正交向量组{e1,e2,…,en}是线性无关的.第6页共6页陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案第八章欧氏空间§8.2度量矩阵与正交基证设k1e1＋k2e2＋…＋knen＝0，用ei与等式两边作内积,得kiáei,e
6、iñ＝0.而áei,eiñ>0,故ki＝0,i＝1,2,…,n.因此,{e1,e2,…,en}线性无关.□从定理8.2.2可以看出,有了正交向量组，确定内积就比较容易一些,因为当基{e1,e2,…,en}是正交向量组时,度量矩阵为A＝＝.实际上,我们还可以使度量矩阵更简单.定义2在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基,由单位向量组成的正交基称为规范正交基.设{e1,e2,…,en}是一个规范正交基,由定义有〈ei,ej〉＝它的度量矩阵A＝I,换句话说,一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量
7、矩阵是单位矩阵.可以看出,在规范正交基下求内积很容易.设V是n维欧氏空间,{e1,e2,…,en}是它的一个规范正交基,对任意a,bÎV，令a＝x1e1＋x2e2＋…＋xnen，b＝y1e1＋y2e2＋…＋ynen，则áa,bñ＝x1y1＋x2y2＋…＋xnyn，áa,añ＝x12＋x22＋…＋xn2，
8、a
9、＝.例2已知{e1,e2,…,en}是n维欧氏空间V的一个规范正交基，a是V中的一个向量，令a=x1e1＋x2e2＋…＋xnen，则áa,eiñ=xiáei,eiñ，即xi=áa,eiñ，i＝1,2,…,
10、n.因此,a关于规范正交基{e1,e2,…,en}的坐标为(áa,e1ñ，áa,e2ñ，…，áa,enñ).例3令a1，a2是V2中由原点出发的任意两个不共线的向量，则{a1，a2}构成V2的基.令b1=a1，过a2的终点B向a1所在的直线作垂线，垂足为A，将向量平移，使其始点为原点，所得向量记为b2，b2＝.第6页共6页陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案第八章欧氏空间§8.2度量矩阵与正交基因
