资源描述：
《高等代数教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、高等代数精品课程教案第三章矩阵的进一步讨论3.4矩阵的合同课题：矩阵的合同教学目的掌握矩阵的合同概念,复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形教学难点复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形,与实对称矩阵A合同的实对角阵的求法,两个实对称矩阵与复对称矩阵合同的充要条件.教学重点复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形,与实对称矩阵A合同的实对角阵的求法,两个实对称矩阵与复对称矩阵合同的充要条件. 教 学 过 程备 注引入前面已定义过矩阵的等价与相似关系，本节定义矩阵的合同概念，并分别讨论复数域和实数域上n阶对称矩阵的合同标准形.新课讲解定义1设A,B都是数域F上的n
2、阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得PTAP＝B，那么就说,在数域F上B与A合同.矩阵的合同关系具有下列性质：1．自反性：每一个n阶矩阵A都和它自己合同；2．对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同；3．传递性：如果B与A合同，而C又与B合同，那么C与A合同.由B＝PTAP，C＝QTBQ即得(PQ)TA(PQ)＝QTPTAPQ＝QTBQ＝C.合同的矩阵有相同的秩.(根据初等变换不改变矩阵的秩)如果A是一个对称矩阵，而B与A合同，即B＝PTAP，那么BT＝(PTAP)T＝PTAT(PT)T＝PTAP＝B，所以B也是对称矩阵.由定理3.3.5即得定理3.4.
3、1设A是数域F上的n阶对称矩阵，则在F上A与一个对角形矩阵合同.对于n阶对称矩阵A，如何求出一个可逆矩阵P，使得PTAP为对角形矩阵呢?由定理3.3.5知，存在一些n阶初等矩阵P1，P2，…Ps，使PTs…PT2PT1AP2P1…Ps＝＝L.(大写的λ)令IP2P1…Ps＝P.由上可知，即在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形矩阵L时，I就化为P，并且PTAP＝L.对于对称矩阵A施行的一对相相同类型的列初等变换和行初等变换叫做对A施行的合同变换.【例1】设A＝第3页共3页高等代数精品课程教案第三章矩阵的进
4、一步讨论3.4矩阵的合同我们按定理3.3.5所给出的方法，对A施行列和行初等变换，将A变成PTAP，使得PTAP是一个对角形矩阵，同时对单位矩阵I4施行同样的列初等变换而得出P.(略)这里一定要掌握合同变换是成对出现的,对A进行行初等变换时,必须对A要施行相同类型的列初等变换.定理3.4.2设A是n阶对称矩阵，则存在复数域F上的n阶可逆矩阵P,使得其中r为A的秩.证:分两种情形.(1)r=0.(2)r>0(证明略)A的秩由A唯一确定,所以矩阵也由A唯一确定.由上述定理可得n阶复对称矩阵合同的判定定理.定理3.4.3两个n阶复对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩
5、.证明:(略)【例２】设由A与B合同,因为它们有相同的秩,但A与C不合同,因为它们的秩不相等.定理3.4.4设A是n阶实对称矩阵，则存在实数域上的n阶可逆矩阵P,使得其中r为A的秩,0≤p≤r.证明:(同上,但实数又和复数不一样,具体讲清楚就行,证明略,)定理3.4.5(实对称矩阵的惯性定律)设A是n阶实对称矩阵，如果A在实数域上合同于如下矩阵B和C:那么p=q.证明:A既与B合同,又与C合同,所以由合同关系的对称性及传递性可知A与C合同,因此,存在n阶可逆矩阵T使得B=TTCT.第3页共3页高等代数精品课程教案第三章矩阵的进一步讨论3.4矩阵的合同小结与作业课堂小结
6、本节内容分为以下四个问题讲1.矩阵的合同(P135定义1)(1)合同满足自反性,对称性,传递性;(2)实对称矩阵一定合同于一个实对角阵.2.与实对称矩阵A合同的实对角阵的求法(P136-137)若A合同于一个对角阵D,即PTAP==D可用合同交换化A为D但若同时想得到P,就必须在的下方并一个单位阵I这样A为D时,I就化成了P(但对I只作列初等变换)3.两个复对称矩阵合同的充要条件(P139)4.两个实对称矩阵合同的充要条件(P143)注意:两个矩阵是否合同,与在哪个数域上考虑问题有关.例如A=,B=A和B既可看作实数域上的对称矩阵,又可看作复数域上的对称矩阵.在实数域
7、上A与B不合同,在复数域上A与B合同.本课作业习题三第23,24,25,26,27本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）第3页共3页
