高等代数电子教案(ⅱ)

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1、高等代数（张禾瑞郝炳新）电子教案(Ⅱ)韩山师范学院数学与信息技术学院张君敏第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间与酉空间第九章二次型第四章线性方程组4.1消元法4.2矩阵的秩线性方程组可解的判别法4.3线性方程组的公式解4.4结式和判别式4.1消元法学习内容4.1.1线性方程组的初等变换4.1.2矩阵的初等变换阶梯形矩阵4.1.3线性方程组有解的判别前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要

2、讨论一般的线性方程组：在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.（1）例1解线性方程组：从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量（2）得到：为了计算的方便，把第一个方程乘以-2后，与第二个方程交换，得：把第二个方程的2倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量，得到现在很容易求出方程组（2）的解.从第一个方程减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三个方程，得再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：这样我们就求出方程组的解.①交换两个方程的位置；②用一个不等于零的数某一个方程；③用一个

3、数乘某一个方程后加到另一个方程.4.1.1线性方程组的初等变换线性方程的初等变换：对方程组施行下面三种变换：这三种变换叫作线性方程组的初等变换.定理4.1.1初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：（3）（4）4.1.2矩阵的初等变换定义1由st个数排成一个s行t列的表叫做一个s行t列（或s×t）的矩阵，叫做这个矩阵的元素.注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.矩阵（

4、3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系数矩阵和增广矩阵.一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组.定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：3)用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上.1)交换矩阵的两行（列）2)用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它

5、的增广矩阵.因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.在对于一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简.因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题.在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换.后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵先化为然后，进一步化为定理

6、4.1.2设A是一个m行n列的矩阵：通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：(5)这里*表示矩阵的元素，但不同位置上的*表示的元素未必相同.证若是矩阵A的元素都等于零，那么A已有（5）的形式进而化为以下形式，（6）乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵A化为设某一不等于零，必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角.若B中，除第一行外，其余各行的元素都是零，那么B已有（5）的形式.设B的后m–1行中有一个元素b不为零，把b换到第二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把B化为如此继续下去，

7、最后可以得出一个形如（5）的矩阵.形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是显然的.只要把由第一，第二，…，第r–1行分别减去第r行的适当倍数，再由第一，第二，…，第r–2行分别减去第r–1行的适当倍数，等等.4.1.3用消元法解线性方程组考察方程组（1）的增广矩阵（4）.由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）.对增广矩阵（4）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：(7)与（7）相当的线性方程组是（8）由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量

8、的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解.因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）.但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出.这里是1，2，…，n的一个全排列.情形1，这时方程组（8）无