高等代数选讲电子教案.pdf

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1、皖皖皖西学院皖西学院应用数学学院2012.8第一章章章行列式一．内容概述a⋯a111n1．行列式的定义：⋮⋱⋮=∑(-)1t(j1j2...jn)aa...a其中t(jj...j)为排列1j12j2njn12na⋯an1nnjj...j的逆序数。（（（（3种定义方式）））12n2．行列式的性质T（1）设D为n阶行列式，则D=D，即行列式转置以后其值不变。（2）n阶行列式D某一行（列）有公因子可以提出来。（3）n阶行列式D的某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行外全与原来行列式D的对应的行一

2、样。（4）n阶行列式D中某行（列）的对应元素都相等，则D=0。（5）n阶行列式D中某行（列）的对应元素成比例，则D=0。（6）把n阶行列式D的一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。（7）变换行列式的两行（列），行列式改变符号。3．按一行（列）展开设D=a为阶行列式，A为元素a的代数余子式，则ijijijDk=iaA+aA+⋯+aA=k1k1k2k2knkn0k¹iDl=jaA+aA+⋯+aA=1l1j2l2jnlnj0l¹j二．行列式的乘法4．设D和D是任意两个阶行列式，且D=a,D=b，则DD×=D，而

3、D=c，其中121ij2ij12ijncij=∑akibil(k,l=2,1⋯n)。i=15.拉普拉斯定理(laplace定理)设在行列式D中任意取定了k1(£k£n-)1个行,由这k个元素所组成的一切k阶子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。6．克莱姆法则（Cramer法则）a⋯a111nDDD12n设A=⋮⋱⋮，且A¹0，则有唯一解，其解为(,,⋯)，其中AAAa⋯an1nna⋯aba⋯a111j-111j+11na⋯aba⋯a212j-122j+12nD=j⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a⋯aba⋯an1nj-1nnj+1nn三．

4、例题选讲例1．如果排列jj⋯j的逆序是4，则jj⋯j的逆序是6，进而推广之，如果排列xxx⋯x的125541123n2n(n-)1逆序是k，则xx⋯x的逆序是C-k=-k。nn-11n2a⋯a1115例2．．．写出五阶行列式．⋮⋱⋮中包含aa的所有正项。（西南交通大学84年）1325a⋯a515511-1例3．．．1）设A为三阶方阵，A为伴随矩阵，且A=,计算（A）-8A。83ab2）设三阶矩阵A=2g1，B=g1，其中a，b，g1，g2均为三维向量，且已知3gg22A=18,B=2，求行

5、列式AB-。1a-a⋯a11121n21aa-⋯a例4．设a为整数，ij,=1,2,⋯,n，则21222n¹0。ij2⋯⋯⋯⋯1aa⋯a-n1n2nn2n例5．已知n阶矩阵A=(aijnn)´,∑aij=0(,ij=1,2,⋯,)n，求证：A11=A12=A13=⋯=A1n。j=1nn推而广之，n阶矩阵A=(aijnn)´且∑aij=0,(i=1,2,⋯,),n∑aij=0,(j=1,2,⋯,)n,则矩阵的行j=1i=1列式的每个元素的代数余子式必相等。1+x11111-x11例6．计算行列式111+y11111-y1+a11⋯

6、11122+a2⋯222333+a⋯333例7．设a¹,0k=12⋯n,计算k⋯⋯⋯⋯⋯n-1n-1n-1⋯n-1+an-1n-1nnn⋯nn+ana11⋯101a0⋯01例8．计算行列式1）10a⋯0，其中aa⋯a¹0212n⋮⋮⋮⋮100⋯an-1abb⋯b1bab⋯b22）D=bba⋯b，(其中b¹a,i=2,1⋯n)n3i⋮⋮⋮⋮⋮bbb⋯an例9．设a¹,0k=,2,1⋯,n,计算k1+a11⋯11122+a2⋯222333+a⋯333⋯⋯⋯⋯⋯⋯n-1n-1n-1⋯n-1+an-1n-1nnn⋯nn+an例10．计算

7、行列式a11⋯1abb⋯b011a0⋯0bab⋯b121)10a⋯0（其中aa⋯a¹0)2)bba⋯b(其中b¹a,i=,2,1⋯n)212n3i⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯100⋯abbb⋯an-1n例11．计算n+1阶行列式x12⋯n-1n1x2⋯n-1n12x⋯n-1nD=n+1⋯⋯⋯⋯⋯⋯123⋯xn123⋯nx1234⋯n1123⋯n-1n+1n-2例12．证明D=1x12⋯n-2=(-)1x⋯⋯⋯⋯⋯⋯1xxx⋯12n-1s1aa⋯a+111a12n-1s1aa⋯a+222a2例13．计算n阶行列式Dn=2n-1s，其中s=

8、a1a2⋯an。1aa⋯a+333a3⋯⋯⋯⋯⋯2n-1s1aa⋯a+nnnan例14．计算11⋯1x(x-)1x(x-)1⋯x(x-)11122nn22D=x(x-)1x(x-)1⋯x(x-)1n1122nn⋮⋮⋮n-1n-1n-1x(x-)1x(x-)1⋯x