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1、陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案第七章线性变换§7.2线性变换的运算§7.2线性变换的运算教学目的本节要求掌握线性变换的四种运算即加法运算、数乘运算、乘法运算、可逆线性变换教学难点乘法运算、可逆线性变换教学重点乘法运算、可逆线性变换 教 学 过 程备 注教学内容一、线性变换的加法运算及数乘运算1．线性变换的加法运算定义1设s,tÎL(V).s与t的和s＋t定义为(s＋t)(a)＝s(a)＋t(a),"aÎV.易知s＋t也是V的线性变换.事实上，对任意a,bÎV,kÎF，有(s＋t)(a＋b)＝s(a＋b)＋t(a＋b)＝s(a)＋s
2、(b)＋t(a)＋t(b)＝(s＋t)(a)＋(s＋t)(b).(s＋t)(ka)＝s(ka)＋t(ka)＝ks(a)＋kt(a)＝k((s＋t)(a)).2．线性变换的数乘运算定义2设sÎL(V)，k是F中的一个数.k与s的积ks定义为(ks)(a)＝k(s(a))，"aÎV.容易验证，ks也是V的一个线性变换.3．线性变换的加法运算和数乘运算的性质定理7.2.1L(V)对于线性变换的加法，数与线性变换的乘法运算构成数域F上的一个向量空间.证L(V)对于线性变换的加法、数与线性变换的乘法运算是封闭的，并且这两种运算显然满足向量空间定义中的
3、1),2),5),6),7),8).即对任意s,t,rÎL(V)，k,lÎF，有1)s＋t＝t＋s；2)(s＋t)＋r＝t＋(s＋r)；5)k(s＋t)＝ks＋kt；6)(k＋l)s＝ks＋ls；7)(kl)s＝k(ls)；8)1s＝s.下面只需说明向量空间定义中3),4)也成立.对任意的线性变换sÎL(V),有(s＋q)(a)＝s(a)＋q(a)＝s(a)＋0＝s(a)("aÎV).因此，有3)s＋q＝s.对任意sÎL(V)，s的负变换－s规定为(－s)(a)＝－s(a)，"aÎV.第4页共4页陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案第七章
4、线性变换§7.2线性变换的运算于是有[s＋(－s)](a)＝s(a)＋(－s)(a)＝s(a)－s(a)＝0＝q(a)，("aÎV).因此，有4)s＋(－s)＝q.二、线性变换的乘法运算1．线性变换乘法运算的定义定义3设s,tÎL(V).s与t的乘积st定义为(st)(a)＝s[t(a)],"aÎV.st当然是V的一个变换.下面说明st是V的线性变换.任意a,bÎV,kÎF，有(st)(a＋b)＝s(t(a＋b))＝s(t(a)＋t(b))＝s(t(a))＋s(t(b))＝(st)(a)＋(st)(b).st(ka)＝s(t(ka))＝s(
5、kt(a))＝k(s(t(a))＝k(st)(a).因此st是线性变换.2．线性变换的加法、乘法及数与线性变换的乘法运算还适合以下算律：9)r(s＋t)＝rs＋rt；10)(s＋t)r＝sr＋tr；11)(ks)t＝s(kt)＝k(st)；12)r(st)＝(rs)t.这里，r,s,tÎL(V)，k是F中的任意数.我们只验证9)，其余的等式可类似地验证.对任意aÎV,有(r(s＋t))(a)＝r((s＋t)(a))＝r(s(a)＋t(a))＝r(s(a))＋r(t(a))＝(rs)(a)＋(rt)(a)＝(rs＋rt)(a).所以9)成立.
6、3．线性变换的方幂定义一个线性变换s的方幂为sn=.这里n是正整数.又规定s0＝i.三、可逆线性变换例1在Mn(R)中取定一个可逆矩阵A，定义Mn(R)的线性变换s,t为s：X®AX，"XÎMn(R).t：X®A-1X，"XÎMn(R).于是(st)(X)＝s(t(X))＝s(A-1X)＝A(A-1X)＝X，(ts)(X)＝t(s(X))＝t(AX)＝A-1(AX)＝X.即(st)(X)＝(ts)(X)＝i(X).即st＝ts＝i.第4页共4页陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案第七章线性变换§7.2线性变换的运算1．可逆线性变换的概念定
7、义4设sÎL(V)，若存在V的变换t，使得st＝ts＝i，则称线性变换s是可逆的,t称为s的逆变换.2．可逆线性变换的逆变换是唯一的，s的逆变换记作s－1.因为若t1,t2都是s的逆变换时，t1＝t1i＝t1(st2)＝(t1s)t2＝it2＝t2.3．如果s是线性变换，则s的逆变换也是线性变换.设s是可逆线性变换,则有ss－1＝s－1s＝i.因此,对任意a,bÎV,kÎF，有s[s－1(a＋b)]＝ss－1(a＋b)＝i(a＋b)＝i(a)＋i(b)＝ss－1(a)＋ss－1(b)＝s[s－1(a)＋s－1(b)]；s[s－1(ka)]＝
8、ss－1(ka)＝i(ka)＝ki(a)＝kss－1(a)＝s[ks－1(a)]求上两式左、右两端在s－1之下的象，得s－1(a＋b)＝s－1(a)＋s－1(b)；s－1(ka)
