《高等代数》课程教案

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1、《高等代数》课程教案课次1学时2授课类型其它（复习课）授课章、节：复习教学目的、要求：系统复习多项式、行列式、向量相关性、矩阵等理论，加深理解。教学重点及难点：多项式、行列式、矩阵、方程组教学基本内容教学方法一、多项式1、一元多项式(零多项式)次数.相等,运算律,一元多项式环.2、整除的概念及其基本性质.带余除法；多项式的整除性不因数域的扩大而改变.最大公因式和互素：最大公因式,互素的概念；最大公因式的存在性和求法--辗转相除法；3、不可约多项式；性质:整系数多项式在上可约它在整数环上可约.Eisenstein判断法.因式分解及唯一性定理；次数

2、大于零的复系数多项式分解成一次因式的乘积；次数大于零的实系数多项式分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.重因式.4、多项式函数,根和重根;余数定理；整系数多项式的有理根;实系数多项式虚根成对;代数基本定理.F[x]中次多项式在至多有个根.函数相等与多项式相等一致.二、行列式理论1.级排列逆序,逆序数与奇偶排列；个级排列,奇偶各半，对换改变奇偶性，任意一个级排列都可以经过一些对换变成自然顺序.2.级行列式的概念；3.行列式的性质：行列互换,不变；互换行(列),变号；数乘某行(列),等于数乘这个行列式；把某行(列)的倍数加到另一行(列),不变；按行

3、(列)分解为两个行列式的和；两行(列)成比例,行列式等于零；4.行列式依行依列展开代数余子式，用代数余子式计算行列式5、行列式计算定义法；化为三角形；化为范得蒙行列式；拆行(列)法；降级法；加边法；数学归纳法；递推法；因式分解法三、向量与方程组1、向量的线性关系维向量及线性运算，线性组合，线性相关，线性无关，极大线性无关组，秩，向量组等价.向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出.设向量组中每一个向量都是向量组的线性组合，而且，那么向量组必线性相关.2、矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩=不为零的子式的最大级数

4、.初等变换不改变矩阵的秩.3、线性方程组的解线性方程组有解当且仅当系数矩阵与增广矩阵秩相同.解的个数：时有唯一解；时，是线性方程组的一个特解，是导出组的基础解系，线性方程组的任一解表成,其中是任意数.齐次线性方程组总有解:时只有零解；时有无穷多解，任意个线性无关的解向量是它的基础解系，全部解可表示为其中是任意的数.四、矩阵1.运算加法与减法;数乘；乘法,并且若是级矩阵,则.可逆矩阵.2.矩阵运算律加法交换与结合律,乘法的结合律,数乘与乘法关于加法的分配律；注意:;可能.3.几种特殊的矩阵数量矩阵,对角矩阵,三角形矩阵,对称矩阵,反对称矩阵.4.

5、级矩阵可逆初等变换化为单位矩阵为初等矩阵的乘积的秩为的行列式.初等变换求逆矩阵5..6.三种初等矩阵分别对应于三种初等变换.对矩阵作初等行(列)变换,相当于用对应的初等矩阵左(右)乘.矩阵等价及标准形.7.分块矩阵的运算.系统、复习与串讲作业、讨论题、思考题认真向量与矩阵有关运算和性质参考资料、主要外语词汇：1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山东科技出版社，1986.课后小结：《高等代数》课程教案课次2学时2授课类型理论课授课章、节：第五章二次型 §1二次型的矩阵表示教

6、学目的、要求：理解二次型和非退化线性替换；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的对应关系；理解合同概念及性质.教学重点及难点：矩阵的合同关系教学基本内容教学方法一、二次型及其矩阵表示二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型，简称二次型.定义1设是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由到的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.为二次型的矩阵，.二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.设二次型，作非退化线性替换得到一个的二次型.二、矩阵的合同关系定义2数域P上两个阶矩阵，称为合同的

7、，如果有数域P上可逆的矩阵,使得.合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质:1)自反性:任意矩阵都与自身合同.2)对称性:如果与合同,那么与合同.3)传递性:如果与合同,与合同,那么与合同.经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换是非退化时，由上面的关系即得.这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性质可以推知原来二次型的一些性质.黑板讲授作业、讨论题、思考题认真思考二次型与

8、矩阵的对应关系参考资料、主要外语词汇：1、《高等代数与解析几何》，陈志杰编，北京：高等教育出版社，2002.2、《高等代数习题解》，杨子胥编，济南：山