高等代数与解析几何

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1、第三章向量代数《高等代数与解析几何》课题开发组3.1向量及其线性运算欧拉（1707-1783）3.1.1向量的基本概念既有大小,又有方向的量,称为向量(矢量).用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的例如也可用一个字母表示.例如或大小,有向线段的方向表示向量的方向.如速度,加速度,力,位移等.定义3.1可以向量的大小叫做向量的模,记作模等于１的向量叫做单位向量.向量的模:向量3若大小相等,方向相同,则称相等，定义3.2与起点无关的向量称为自由向量(向量).定义3.3如果两个向量和的大小相等，方向相反，则称是的反向量，记作.定义3.4长度为0的向量成为零向量，记作0.

2、定义3.5长度为1的向量称为单位向量.模等于零的向量叫做零向量,记作零向量的起点和终点重合，方向可任意.或记做41．向量的加减法称为向量加法的平行四边形法则。再以为边作平行四边形称定义3.6从一点作向量为两向量的和向量，记作个向量的和如何理解？3.1.2向量的线性运算5两向量的差：不难得到：(2)结合律(1)交换律向量加法的运算规律6特别地,定义3.7向量运算规律:(1)结合律(2)分配律与实数的乘积是一个向量，记作它的方向，当它的模与的方向相同（相反）.7定理3.1的充分必要条件是存在唯一的3.1.3共线向量、共面向量定义3.8方向相同或者相反的向量称为共线向量，而再

3、证唯一性.证充分性是显然的.设向量设则取实数同向时为正；时所以，平行于同一平面的向量成为共面向量.下面证必要性.设为负；8定理3.2三个向量共面的充分必要条件是存在不全为零的数使证中有两个向量例如共线，由定理3.1知，则有不全为零的使那么仍不全为零，有设均不共线，作过点作直线与平行交所在直线于点，于是由三角形如果法则及数乘向量定义有9其中不全为零.反之，如果有不全为零的使不妨设，于是这说明是以为边的平行四边形的对角线，因此共面.从而有10证由三角形法则又因是的中点，故即例3.1中，是边中点，证明11例3.2用向量证明三角形中位线定理.例3.3用向量证明：如点是的重心，边

4、上中线，则是12结束