资源描述：
《高等代数与解析几何(7)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§2基变换对线性变换矩阵的影响教学目的：使学生掌握一个线性变换关于不同基的矩阵的联系.教学重点：一个线性变换关于不同基的矩阵的联系,矩阵的相似.我们知道,线性变换的矩阵依赖于线性空间的基的选择.当基发生变化时,线性变换的矩阵也要相应地变化.本节讨论基变换对线性变换矩阵的影响.在n维线性空间V中取定两个基η12,,ηη?,n与η12′′,,ηη?,n′,前者到后者的过渡矩阵为T,即(,η′′ηη,??,′)=(η,η,,η)T(2.1)12nn12V的线性变换A关于这两个基的矩阵分别为A与B,即A(η,ηη,??,)=(η,η,,η)A(2.2)12nn12A(η′,ηη′′,??
2、,)=(η′,η′,,η′)B(2.3)12nn12用A作用(2.1)两端,得A(ηη′′,,??,)η′=A(η,η,,)ηT12nn12−1==(,ηη,??,η)ATT(η′′,η,,η′)AT(2.4)12nn12比较(2.3)式与(2.4)式,得−1BT=AT于是,得定理2.1设η12,,ηη?,n与是η12′,,ηη′′?,n线性空间V的两个基,它们的关系是(,η′ηη′′,??,)=(η,η,,η)T12nn12线性变换A关于这两个基的矩阵分别为A与B,则−1BT=AT定义2.1设AB,(∈MK),如果存在数域K上的n−1可逆矩阵T,使得BT=AT,则称A相似于B,
3、记为A~.B定理2.1说明,一个线性变换关于不同基的矩阵是相似的.易见,相似作为矩阵之间的一种关系,它是一种等价关系,即具有自反性、对称性、传递性.如果−1−1BT=AT,BT=AT1122则−1BB+=T()A+AT1212−1BB=T()AAT1212−1如果BT=AT,则对于任意自然数n,有nn−1BT=AT对于数域K上的任意多项式f()x,有−1f()BT=f()AT例2.1设矩阵A可逆,证明:AB与BA相似.证明从等式−1BA=A()ABA即可得出结论.例2.2证明:⎛⎞λ⎛⎞λi11⎜⎟⎜⎟λλ⎜⎟i⎜⎟2与2⎜⎟B⎜⎟B⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟λλ⎝⎠ni⎝⎠n相似，其中i
4、i?i是1,2,?,n的一个排列.12n证明设V是数域K上的一个n维线性空间,取V的一个基η12,,ηη?,n,设线性变换A关于这个基的矩阵为⎛⎞λ1⎜⎟λ⎜⎟2⎜⎟B⎜⎟⎜⎟λ⎝⎠n即⎛⎞λ1⎜⎟λA(,,,)=(,,,)⎜⎟2ηη??ηηηη12nn12⎜⎟B⎜⎟⎜⎟λ⎝⎠n则⎛⎞λi1⎜⎟λ⎜⎟i2A(ηη,,??,η)=(η,η,,η)ii12inni12ii⎜⎟B⎜⎟⎜⎟λ⎝⎠in于是,所给的两个矩阵是同一个线性变换关于两个基的矩阵,因此相似.
