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1、高等代数中的思想方法i991~辽宁师范大学(自然科学版)L991第l'卷第j期,ro=rnolo,LiooningNormor.University(N~turo/Science)Vo1.I4№4高等代数中的思想方法邱岫岩董学东(数学系)摘要从认{旯论的角窿,系统地总结了高等代数在思想方{击上的特点.用以开发学生的智能,培养学生的能力.关键词多项式,行列式,向量,矩阵,线性方程组,=次型,向量空间,躐-L生变换中圈分类号01.0在教学中,为了开发学生的智能,除了课本的理论知识外,我们还从认识论的角度总结了高等代数在
2、思想方法上的特点.现简述如下;1一般性在高等代数中,多是更一般地提出问题和讨论问题.在这一点上,高等代数与中学代数有着本质的不同.例如,在中学代数中只介绍了二元,三元一次方程组的解法,而且多半只考虑有唯一解的情况.而在高等代数中给出了含任意多个未知蟹,任意多个方程的线性方程组的解法.同时还讨论了一个线性方程组有解的充要条件.在有许多解的情况下,还刻划了解之间的关系,给出了解的结构定理.总之,在高等代数中,完整地,漂亮地解决了数域上线性方程组的理论问题.对于线性方程组解的存在问题,个数问题,结构问题以及计算和表达问题
3、都给出了满意的回答.再例如,关于行列式,在中学代数中只介绍了二,三阶行列式的算法,而在高等代数中给出了阶行列式的完整理论.关于多项式,在中学代数中,只讨论了二次三项式(主要的),而在高等代数中介绍了一般的多项式理论(包括多元多项式理论).关于多项式的因式分解,在中学代数中只介绍了一些具体的分解方法,对于所谓"不能再分","分解是否唯一"等都没有进行讨论,而在高等代数中对于这些闻题都给出了肯定,明确的说明和论证.以下我们用符号一表示中学数学中某种知识内容到高等代数中某种知识内容的发展与升华;某些特殊二元二次方程组的解
4、法—二元高次方程组的解法(结式)二,三维几何空间,二÷维欧氏空间—维向量空间旋转,反射—第l,2类正交变换—线性变换二次曲线曲面—元二次型收祷日期t]990一O0一10崔改稿收稿日期l1991-05—2第4期邱岫岩等:高等代数中的思想方法3l9二次曲线,曲面用正变变换化简—÷维欧氏空间的主轴问题—÷二次型用可逆线性替换化简.如此等等.正是在上述意义下,可以认为高等代数是中学代数的继续和提高.和中学代数相比.高等代数已是一个具有相当深度的理论学科.而中学代数只是一个教学科目.两者已有本质的区别.2整体性为了把问题表述
5、清楚,在高等代数中,常常是着眼于从整体上提出问题和认识问题,着眼于运算性质的讨论.例如,在看待数时,常常不是研究每个个别的数如何如何,而是把某些数放在一起作为一个整体来考虑.例如,整数的全体,有理数的全体,实数的全体,复数的全体等等.并且我们知道,全体整数的集合对于数目的加减乘三种运算自封.全体有理数的集合,全体实数的集合,全体复数的集合对于数目的加减乘除(除数不得为零)四种运算自封等等.在高等代数中,分别称这四个数集为整数环,有理数域,实数域和复数域.再例如,在讨论多项式时,常常不是讨论每个个别的多项式如何,'而
6、是把数域PE的所有多项式(或某些多项式)放在一起来考虑.并且数域P上所有多项式的集合P()对于多项式的加减乘三种运算自封.在教科书中称P)为数域P上的一元多项式环.在讨论线性变换,矩阵,对称变换,对称矩阵,正交变换,正交矩阵,酉变换,酉矩阵等等的时候情形也是一样.我们有数域P上向量空间的所有线性变换的集合(),数域P上所有阶方阵的集合M(P)等等.并且在每个相应的集合中都有自己相应的运算,而且这些运算还满足某些特定的运算规则.比如在线性变换的集合工()中,可以施行加法,减法和乘i击,也就是说,向量空间的两个.线性变
7、换的和,差,积仍是的线性变换.除了这三种运算外,还有P,工()到()的作用乘法(亦称数量乘法),对于P中的每个数和()中的每个线性变换r,r也是的一个线性变换.同时这些运算还满足一系列的算律.人们关于代数的观念大致有三种.一种t所谓代数就是用字母代数}一种t所谓代数就是解方程.而当今关于代数学的正确观念应该是t所谓代数就是各种代数结构的理论.现代代数学的研究对象不再以解方程为中心,而重点是研究各种各样的代数结构的代数性质以及它们的联系.所谓代数结构就是带有运算的集合.一般说来,这些运算还适合某些所希望的若干条绰.在
8、这样的意义之下可以认为,在高等代数中自始至终渗透着近世代数的思想和方法.因此可以说,在高等代数中,尽管题材是古老的,但是处理这些题材的观点和方法还是比较新的..3范围性在高等代数中,总是明确指出讨论问题的范围.数学问题总是和数的范围有关,罚一个问题在不同范围内可能有不同的结果.倒如方程一2=O在有理数域中无解,在实数域中有解,解是±√丁,方程+1=O在实数域
