一道竞赛题的精彩证明

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1、一道竞赛题的精彩证明作者姓名：弯国强作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学E-mail：632158@163.com“学以致用”，掌握知识的一个重要作用就是在实践中加以应用，用已经证明了的知识来解决新问题，这样就把死的知识变成了活的知识，掌握的知识就成了改造世界的犀利武器。在数学教育中，我们提倡学生独立思考，增强解决问题的能力。要想达到这个目的，只是教给学生公理、概念、定理……等知识是不够的，还要教会学生怎么思考。容斥定理和二项式定理是高中竞赛中常常出现的两个定理，这两个定理的应用非常灵活，难度也很大。用容斥原理解题是根据题意构造出能覆盖整个已知集合的若

2、干子集。至于求出这些子集及相应子集的不同交集的元素个数是容易的。下面我们就来看一下，这两个定理在证明中是怎么应用的。例题：我们可以把自然数列按照某个自然数分段，并把这个分段记为T，T表示第r个分段。r例如：按照自然数3分段，就是每隔3个数分一段。1，2，3；4，5，6；7，8，9；…………第1段为1，2，3记为T={1,2,3}，……第r段记为Trrr={3−−2,31,3}1r按照自然数5分段，就是每隔5个数分一段。1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；…………第1段为1，2，3，4，5记为T={1,2,3,4,5}，…

3、…第r段记为1Trrrrr=−−−−{54,53,52,51,5}r我们把第1分段中的全部质数叫基质数。例如T={1,2,3}中的基质数为2，31T={1,2,3,4,5}中的基质数为2，3，51试证明：设T是自然数的任一分段，分段T中基质数倍数的个数不大于分段T中基质数r1的倍数的个数。这个题目的特点是文字叙述比较长，涉及的概念有老概念“质数”，又有新概念“基质数”。但是仔细阅读并不难理解。虽然理解题意不难，但是真要证明起来就不是一件容易的事了。在证明数学竞赛题时，一般很难一下子就找出解题的思路。总要先进行一番试探，摸索规律，才有可能寻找到解决问题的途径

4、。我们常用的方法就是“从特殊到一般，从简单到复杂”，这个不仅是一个重要的数学方法，而且也是我们探索世界一个重要的方法。我们先找一个具体的分段，按照自然数5分段，就是每隔5个数分一段。1，2，3，4，5；6，7，8，9，10；11，12，13，14，15；16，17，18，19，20;21，22，23，24，25；26，27，28，29，30；31，32，33，34，35；36，37，38，39，40；41，42，43，44，45；46，47，48，49，50;51，52，53，54，55；56，57，58，59，60；61，62，63，64，65;66，6

5、7，68，69，70；71，72，73，74，75；76，77，78，79，80;…………第1段为1，2，3，4，5记为T={1,2,3,4,5}，……第r段记为1Trrrrr=−−−−{54,53,52,51,5}r第1分段中的全部质数叫基质数。T={1,2,3,4,5}中的基质数为2，3，5，基质数的1个数m=3。集合Apim=={质数的倍数,1,2??｝={2,3,4,5｝T⊂，根据容斥原理，i1⎡⎤mm⎡⎤⎡⎤⎡m⎤⎢⎥nnnm−1n∑∑∑⎢⎥−+⎢⎥⎢⎥+??+()−1⎢⎥mii=<1⎣⎦ppiiji⎢⎥⎢⎣⎦⎣ppji

6、中元素的个数为⎢⎥∏pi⎣⎦i=1⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡5555⎤⎡5⎤⎡5⎤⎡5⎤=++−−−+=4⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣2352××××32⎦⎣53⎦⎣52⎦⎣3×5⎦集合Bpim=={质数的倍数,1,2??｝={12,14,15｝T⊂，则B中元素的个数为S=3；i3集合Bpim=={质数的倍数,1,2??｝={26,27,28,30｝T⊂，则B中元素的个数为i6S=4；集合Bpim=={质数的倍数,1,2??｝={46,48,50｝T⊂，则B中元素的个数为S=3，i1049不是2，3，5任何一个数的倍数；集合Bpim=={质数的倍数,1,

7、2??｝={76,78,80｝T⊂，则B中元素的个数为S=3，i1677不是2，3，5任何一个数的倍数。B中元素的个数最多为S=4，这个数是怎么算出来的呢？我们以T={26,27,28,29,30}m6为例加以说明。我是这样考虑的：要使T={26,27,28,29,30}中元素的个数最多，必须使6每一个基质数或其乘积的倍数最多。因为这个5个连续的正整数，每隔2个数就有一个2⎡⎤5⎡⎤5的倍数，最多为+1个2的倍数；每隔3个数就有一个3的倍数，最多为+1个3⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎣⎦3的倍数；每隔5个数就有一个5的倍数，因为5刚好可能整除5，所以5个连续的自然数中，

8、⎡⎤5刚好有一个数能被5整除，只有⎢⎥个5的倍数；每次多出的一个基