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1、中学数学月刊 ·40·2007年第2期一道时钟竞赛题的商榷罗增儒 (陕西师范大学数学系 710062) 文[1]登有江苏省第十九届初中数学竞赛题,其初中一年级第1试题选择题第5小题为:例1如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动,那么从3时整(3:00)开始,在1分钟的时间内,3根针中,出现一根针与图1 图2另外两根针所成的角相等的情况有().终在OB的前面;并且OC从在OA后面到与(A)1次 (B)2次 (C)3次 (D)4次OA重合,再到位于OA前面.随文附上答案D,没有提供求解过程.我1
2、们认为,除非修改题目的叙述,否则无一选项②分针转速为秒针转速的60,有v分=为正确答案,是一道错题或病题.1度ö秒.1分钟旋转了6度,OB不能超过101 商榷的问题OA.我们商榷的问题有两个,一个是答案,一1个是题意.③时针转速为分针转速的,有v时=12111 答案应该大于411度ö秒,1分钟旋转了度.因而3:00之为了说明问题的方便,我们记时针为1202后,∠AOB的范围为:从90°减少到84°30′.OA,分针为OB,秒针为OC,在3点整时(图在下面的叙述中,我们约定两针所成的1),OB与OC重合,∠AOB=90°.从这一时
3、角均不大于平角.从3时整之后(不包括刻开始,各针旋转1分钟,则(见图2)①秒针旋转了1个周角(回到原处),其3:00),“出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况”,分三类穷举如下:转速为v秒=6度ö秒.按顺时针方向,OC始(上接第39页)例3(据2003年高考北京卷(理)试题改编)如图6,在正三棱柱ABC2A1B1C1中,所有棱长都是2,P为线段AA1上一动点.(É)当BC1⊥B1P时,求线段AP的长;(Ê)在(É)的条件下,求二面角C2B1P2C1的大小.图6 图7分析 (É)取A1B1的中点N,连接是和两个半
4、平面都相交且垂直于棱B1P的BN,C1N.易知C1N⊥B1P,若BC1⊥B1P,直线,过点M作MD⊥B1P于D,连接C1D,则B1P⊥BN.在正方形A1ABB1中,由B1P则∠MDC1就是二面角C2B1P2C1的平面角.⊥BN,易求AP=1,即点P为线段AA1的在直角三角形MDC1中求得∠MDC1=中点.15(Ê)在(É)的条件下易知直线BC1就arctan3.2007年第2期 中学数学月刊 ·41·11111秒针与时针的夹角等于秒针与分针的反向延长线平分时针与分针所成的角,此的
5、夹角时,旋转角∠COC2=227°.一般地这有三种情况:三针重合;恰好时11112时针与分针的夹角等于时针与秒针针与分针重合;秒针(或其反向延长线)平分的夹角另两针的夹角.但在本题的条件下,分针不能如上所说,3:00之后,秒针一直在分针追上时针,既不能三针重合,也不能两针重前面,不会出现分针与秒针重合的情况,更不合,因而,只有第三种情况下的两种可能.会出现三针重合的情况,只需考虑下述两种(1)OC平分锐角∠AOB.可能.这种情况是否发生、何时发生,我们通过(1)OA平分∠COB.解方程来确定.如图3,设经过t秒钟,OC1平如图5
6、,设经过t秒钟,OA3平分分锐角∠A1OB1,有∠C1OB1=∠A1OC1,∠C3OB3,有∠A3OB3=∠C3OA3,即 v秒t-v分t=(90+v时t)-v秒t,即 (90+v时t)-v分t=v秒t-(90+v时ttt),亦即 6t-=90+-6t,10120ttt9010800亦即 (90+120)-10=6t-(90+120),得 t==12-1-114271801080010120得 t==113658116+-=7(秒).10601427215这表明,秒针约走7秒多的时候,秒针平=29365(秒).分时针与分针所成的
7、角,此时,旋转角这表明,秒针约走29秒多的时候,时针∠COC1≈45°24′.平分秒针与分针所成的角,此时旋转角∠COC3≈177°32′.(2)OA的延长线平分OB与OC的夹角.由于时针旋转不超1过度,时针与分针的夹2角为锐角,所以OA的反图3 图4向延长线只能是图5所示(2)OC的反向延长线平分锐角∠AOB.的图5OA′,有∠A′OB3=我们仍通过方程来确定这种情况是否发∠A′OC3>90°,这时的时针位置还是上一种生,何时发生.如图4,设经过t秒钟,OC2的反情况,没有新位置.向延长线平分锐角∠A2OB2,有
8、∠C′OB2=所以,时针与分针的夹角等于时针与秒∠A2OC′,针的夹角,只有一种情况.即 (v秒t-180)-v分t=(90+v时t)-11113分针与时针的夹角等于分针与秒针(v秒t-180),的夹角tt亦即 (6t-180)-=(90+)-(6t此时,三线重
