对一道高等数学竞赛试题解法的商榷

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1、第16卷第4期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.16No.42007年12月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScience)Dec.2007对一道高等数学竞赛试题解法的商榷吴耀强(宿迁学院教师教育系,江苏宿迁223800)　　摘要:剖析了一道竞赛试题的解法中的不严谨成因,给出了该题的完整解答并得到了判断空间中的点与平面的准确位置关系的一个定理.关键词:数学解题方法;数学竞赛;商榷;改进策略中图分类号:O182　　　　文献标识码:B　　　　文章编号:1007-0834(2007)04-0050-02　　数学课

2、是一门培养思维能力的基础课程,数学商榷　从解题思路来看,编者进行分析时所使教学的任务不但要使学生获得新的知识,而且要促用的几何构图如图1所示,显然从几何特征所显示成学生的思维能力发展,从而形成良好的数学思维的结果容易将题目中在已知平面上点M使得

3、PM

4、品质.通过鼓励大学生参加各种形式与不同级别的+

5、QM

6、最小的问题转化为求点Q与P关于已知平高等数学(非数学专业)竞赛,对于提高优秀学生的 面对称的点P1两点之间的直线距离的问题,当然,数学技能与数学素养以及培养他们构建探索新知两点间的距离最短整个解答过程看似无懈可击!事识、新方法的数学创造性思维能力是一种行之有效实

7、上,如上解答已经人为地将已知条件中的P和Q的方法.文[1]总结了北京历届数学竞赛试题与一两点与平面的位置关系限制仅为在该平面的同侧情些省份的数学竞赛试题并给予了较为详尽的参考解形,那么,P和Q两点是否满足在此平面的同侧的条答,对数学工作者提供了详实的理论资料,但是,笔件呢?换言之,对于题目所提供的P和Q两点会不者发现下列的参考解答尚存商榷之处.会出现在此平面的两侧?因此,对于P和Q两点与题目　已知点P(1,0,-1)与Q(3,1,2),在平面平面的位置关系的判断是直接影响到解答正确性与x-2y+z=12上求一点M,使得

8、PM

9、+

10、QM

11、最小(江 严密性的关键,那

12、么,题目中的P和Q两点与平面苏省2004年高等数学(本科一级)竞赛试题第四大 的位置关系到底如何判断呢?笔者利用向量知识并题).结合投影的相关性质试作如下分析:实际上,在如上分析　若设P1是P关于已知平面对称的点,分析过程中,P与已知平面的交点P0(3,-4,1)就则直线P1Q与该平面的交点即为所求之点M.是P在已知平面上的投影点,同理也可以得到Q在解　易求得过点P作垂直于已知平面的直线L的参数方程为x=2+t,y=-2t,z=-1+t.进而可已知平面上的投影点Q092,-2,72(作法同上,先求出过Q点且与已知平面垂直的直线方程,再将其 得此直线与已知平面的交

13、点P0(3,-4,1),再根据转化为参数方程后代入已知平面方程可解出参数中点公式即可计算出P关于已知平面对称的点P1(5,-8,3),这样直线P1Q的对称式方程化为x-32t=32,这样一来,将t=32回代到上述直线的参数方y-1=-9z-2=.化为参数式方程后代入平面方程x-2y+z1程,即得Q在已知平面上的投影点).然后根据P(1,0,-1)与P0(3,-4,1),Q(3,1,2)与Q0=12,经计算,M277,-20,7177即为题目所求.92,-2,72便可以计算出PP0={2,-2,4}与收稿日期:2007-06-20作者简介:吴耀强(1973—),男

14、,江苏宿迁人,宿迁学院教师教育系讲师.·50·323243QQ0=,-3,,显然PP0//QQ0且PP0=QQ0,这样PP0与QQ0同向,进一步可以判断P和Q当然,P0就是P在平面π上投影,从而有PP0=A(Ax1+By1+Cz1)A2+B2+C22+B2+C2,B(Ax1+By1+Cz1)A2+B2+C22+B2+C2,两点在平面的同侧.C(Ax1+By1+Cz1)A2+B2+C22+B2+C2,或Ax1+By1+Cz1PP0=A2+B2+C22+B2+C2{A,B,C}.类似地,可以仿上计算出Q在平面π上投影Q0x2-A(Ax2+By2+Cz2)A2+B2+

15、C22+B2+C2,y2-B(Ax2+By2+Cz2)A2+B2+C22+B2+C2,图1　题目的几何构图z2-C(Ax2+By2+Cz2)A2+B2+C22+B2+C2,从而有注(1)上例的严密证明需要补出分析P和Q两点在该平面同侧的过程;Ax2+By2+Cz2QQ0={A,B,C}.A2+B2+C22+B2+C2(2)也可以转化成为多元函数的极值问题加以显然向量PP0与QQ0满足关系研究(计算过程较为繁琐).Ax1+By1+Cz1事实上,我们可以进一步将上例中分析P和QPP0//QQ0且PP0=Ax2+By2+Cz2QQ0(或QQ0=两点在该平面的同侧的过程

16、推广为空间中任何两点Ax