一道数学竞赛试题的解法探索及对初等数学课程教学的启示

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1、一道数学竞赛试题的解法探索及对《初等数学研究》课程教学的启发[1][2]周瑞宏（甘肃民族师范学院数学系甘肃合作747000）摘要：探索了一道初中数学竞赛题解题思路的分析及问题的解决，在此基础上提出了数学竞赛试题对初等数学研究课程教学的启发。关键词：解题思路初等数学研究课程教学启示AninspirationforthemathscompetitionproblemstoelementarymathematicscurriculumteachingZhouRuihong(DepartmentofMathematicsofGansuNormalUniversityforNa

2、tionalities,Gansu,Hezuo,747000)Abstract：Ananalysisandsolutionofanalyingajuniormathsproblemisprovidedtoshowaninspirationforthemathscompetitionproblemstoelementarymathematicscurriculumteaching.Keywords:analysisandsolution,elementarymathematicscurriculumteaching，inspiration一、问题的提出笔者在分析中国教育

3、学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国数学竞赛时，对第二大题第1小题产生了极大的兴趣。原题如下：已知，则。为什么笔者会对这道试题特别感兴趣？我们从解决这一试题的思路形成过程及解答过程中寻求答案。二、问题的分析及解决该题给出的参考答案中解答如下：由已知得，所以，于是该题给出的解答简单明了，但技巧性很强。经笔者研究，又得到了下面几种解法：思路分析一：由原题可知，将直接代入有解法一：反思一：该思路清晰、明了，但在具体运算中，计算过程比较繁琐，则有下面的分析：思路分析二：由可得，故只需将表示为的形式，再代入即可达到简化运算的目的。于是按待定系数法有下面的解

4、法：设则有（其中为待定的系数）为了求出，有下面两种解法：解法二：由多项式恒等定理知道，两个多项式恒等，对应次项的系数对应相等，即解之得则解法三：（7）式既然是恒等式，那么该式对所有实数均成立，令得：解得反思二：由思路分析二可知，能被整除，设其商式，则余式为0。此时，问题转换为求除以的商。解法四：由长除法[1]有：解之得：反思三：由解法四可知，当按长除法计算两多项式之商时，各项排列的位置完全可以表示它们所含字母的次数，故可以略去字母而只写出系数，以简化计算，此方法称为分离系数的长除法。解法五：由分离系数的长除法[1]下同解法四。反思四：显然，分离系数的长除法比长除法简单

5、，为使除法书写更简单一些。下面我们进一步讨论被除式、除式、商以及余式之间的系数关系：设除以的商及余数分别是、，其中下用待定系数法来确定中的系数与余数。，即由多项式恒等定理有：把这一计算过程写成竖式：用这一算式进行的除法，叫综合除法，对于除式是高于一次的多项式，仍可类似进行，据此得以下解法：解法六：由综合除法有[2]：下同解法四。反思五：此方法尽管简单，但确实不好掌握，不过，只要能够交代清楚其原理及推导过程，学生们还是能够理解和掌握的。三、对中学数学教学的启示1994年修订的初中数学竞赛大纲中指出，数学竞赛对于开发学生智力、开阔视野、促进教学改革，提高教育水平，发现和培

6、养数学人才独有积极的作用。在当今社会，由于数学竞赛“功利性”目的越来越显著，导致其商业化操作越来越严重，严重违背了数学竞赛的宗旨，因此，全国各地采取一刀切的策略，纷纷取缔了“奥数”。但是，由这一试题来说，它不仅体现了算法的多样性，在分析、解答过程中，对开阔学生的视野、培养学生代数的推理能力的过程中，充分体现了层次性及学生的个性差异。同时，在全国义务教育《数学课程标准解读（实验稿）》第二篇《标准》的主要内容与阐述中指出：“数与代数”突出了建函数感、符号感，贯穿了算法多样化和模型化思想，注意了代数的推理能力[3]。因此，作为数学教育工作者，我们不能全盘否定“奥数”，而

7、是要采用“拿来主义”，然后做恰当的改造，贯穿到我们的教学中，为教学服务。参考资料：1.高等数学，高等教育出版社，1988年10月第1版。31——322．全国高等学校民族预科教材《数学》（上），高等学校民族预科教材编写组，天津教育出版社，2000年5月第3版。57——583.全国义务教育《数学课程标准解读（实验稿）》，北京师范大学出版社107——171