一道立体几何题的多种解法和变形应用

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1、一道立体几何题的多种解法和变形应用例题：在正方体ABCD-A]B]C

2、D]中，各棱长为2,E为AAi的中点，F为AB的中点。求：平面DiBiE和平面BiCF的夹角。解法一：分析：做DA,CF,DiE的延长线，我们发现三线交于一点M,同时，我们还发现延长后的图形从正方体变化为两个正方体组合的长方体，连接BiM,则B

3、M就是两个面的公共线，三角形的各边都会求岀。两个面的夹角，我们只要找出公共线上一点，分别在两个面上做垂直于公共线的线，就找出二面角，可求岀二面角的大小。解：做DA,CF的延长线，DA,CF相交于N点，根据已知条件DA=AN,再做DiE的延长线与DN相交M点,根据已知

4、条件DA=AM,所以M与N是一点，三线交于N点。已矢口，DN=4,DD1=2,贝ljD]N=2循，BN=2V2,贝ljB]N=2QDjB]=2V2,在三角形DiBiN中，DiN2=BiN2+DiB]2所以三角形DiBiN是直角三角形，所以，DB1丄B]N。同理或根据对称原理都可求出CB1丄BN所以，如DiBiC就是所求的二面角。连接D.C,三角形D,B,C是等边三角形，所以角D1B1C=60°所以两而的夹角为60°o解法二:分析：要求两个面的夹角，方法是找出公共线，找出夹如，找出相应的三如形，进行求解，如果两个面在所给的图形中不好找公共线，可以找与面平行的平面，不改变夹角的大

5、小。此题可以转化为在正方体内找与两个而平行的平而，该题变化为如下图：解：G,H分别是BBPDD

6、的中点，连接AG,AH,GH,O是GH中点，则O点为正方体的中心点，则GO丄AO（因为GO〃对角线BD,BD丄平面AA1C1C,所以GO丄AO）K,M是AiBi，DC的中点，连接AK,AM,MK,同理求出KO丄AO.所以ZKOG是平面AGH和平面AKM的二面角。三角形AGH与三角形DiB[E对应的三边平行，所以平面AGH〃平面D]B

7、E。同理求出平面AKM〃平面BiCFo所以ZKOG也是平面D]B]E和平而BiCF的二而角。连接KG,在三角形KGO中，三边都等于对角线的一半，三边相

8、等，所以ZKOG=60°o所以平面DiBiE和平面BiCF的二血角为60°。解法三：分析：此题可以转化为在正方体内找与两个面平行的切面，该题变化为如下图：4解:G,H分别是BBpDD1的中点,连接AGAH,GH,O是GH中点，则O点为正方体的中心点，连接AC”AC】的过O点，所以AHCiG是一个平面。K,M是A]Bi，DC的中点，连接AK,AM,MK,同理求出AMCK是一个平面。AC】是两面的公共线。这两面与平面D]B£和AG〃BiE,AH〃D]E,所以平面AHCiG〃平面DjB^同理推出平面AMCiK〃平而BiCF。所以平面AHCiG与平面AMCiK的二面角二平面D]B]E

9、与平面EiCF的二面角。AHCiG和AMCK都是菱形，对角线垂直，所以GO丄AO,K0丄AOo所以ZKOG也是平面D】BiE和平面B〔CF的二面角。连接KG,在三处形KGO中，三边都等于对介线的一半，三边相等，所以ZKOG=60°o所以平面DiBiE和平面BiCF的二血角为60°。