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《李胜红一道立体几何题探究线面角的多种解法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道立体几何题探究线面角的多种解法河北省大城具第一屮学李胜红【摘要】在高屮数学的教学过程屮，对于同一问题，由于思考的角度不同，解题的思路和方法多种多样。在课堂上为解答同一个问题往往需要罗列多种方法，如果每一种方法借助一道例题，浪费了许多读题、理解题意的时间，增加了学生的负扌儿我认为要教好数学，还是要从有限的例题和习题上下工夫,采取一题多解的形式进行教学。木文以2011年全国高考卷立体几何题为例，从三个方面探究线面角的求法，通过一题多解，吸引学生学习数学的兴趣，即解决了线血角的求法，又提高了学生的数学思维能力。【关键
2、词】立体几何；线面角；一题多解；法向量。【正文】在高屮数学的教学过穆屮，我认为要教好数学，还是要从有限的例题和习题上下工夫，采取一题多解的形式进行教学。对一道题采用不同的方法、对一类问题的多种解法采用同一道例题，这样不仅节省了时间、减轻了学生负担、教授了解题技巧，更重要的是通过不同的思路去引导学工讲述各白解题思路及算法，沟通解与解之间的联系，促进思维发展，提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣。在高屮数学屮，立体几何部分一肓部占一有很高的位置，尤其是线面平行、线面垂肓的证明，线线角、线面角、面瓯角的计算都是丿力年高
3、考的重点。作为一位高屮数学一线教师，我对2011年全国高考卷立体几何题大加赞赏，简简单单的一个四棱锥，却能在解题中变幻出多种方法，多角度的考杳学生对立体几何知识的掌握，及空间向量在解决立体几何问题屮的应用，有助于克服学生的定势思维，发展学生的多向思维，拓宽学生的解题思路。在讲授如何求解线面角的时候，我以此题为例，从三个方面探究线面角的求法。线面角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条育线和这个平面所成的角。（19）如图］,四棱锥S-ABCD中,AB/7CD,BC丄CD,侧面SAB为等边三角形。A
4、B=BC=2,CD二SD二1。（1）证明：SD丄平面SAB；（2）求AB与平面SBC所成的角的大小。分析：在第二问求解线曲角的大小时，可从三个角度进行研究:（一）、利用定义寻找线面角的位置直接求解；（二）、借助点到平曲距离间接求解；（三）、建立空间直角坐标系利用法向量求解。aB（图2）方法一：利用定义寻找线面角的位置直接求解（1）一般在斜线L上找一点A,过该点作平面的垂线，斜足0与垂足B的连线0B为斜线在平面内的射影，则射影与斜线所成的角即为该斜线与平面所成的角；（见图2）解法1：如图3,因为CD〃AB,所以CD与
5、平瓯SBC所成的角即为AB与平面SBC所成的角。取SC中点M,连结BM,DM。因为DS=DC,BS=BC,所以SC丄DM,SC丄BM,所以SC丄平面BDM,所以平面BDM丄平面SBC,作DN丄BM,垂足为N,则DN丄平血SBC,连结CN。CN为CD在平面SBC上的射影，ZDCN即为CD与平面SBC所成的角。因为SD±AB,CD〃AB,SD丄CD,SC=JSD?+C£>2=72BM=^BC2-CM2Vl4后+（亟）2一COSADBM=曲曲皿=2・®卫22BD•BMV2J八、厂ZDNV2iSIN上DCN==——=C
6、D21所以AB与平面SBC所成的角arcsinV21"VV28V70（2）过直线L做平面的垂面，线与交线的夹角即为线面角。（见图4）解法2：如图5,由AB丄平面SDE知，平面ABCD丄平面SDE。作SF丄DE,垂足为F,则SF丄平面ABCD,作FG丄BC,垂足为G,连结SGo又FG丄BC,SF丄BGSFQFG二F,故BC丄平面SFG,平面SFG丄平面SBC,FG二DC=1,/G2AZtanaSF~FGE1（图5）所以AB与平面SBC所成的角为arctan方法二：借助点到平面距离间接求解求育线上一点A到平血的距离h,
7、该点与斜足的距离0A,的比值即为线面角的正弦值。即sin解法3：VA—SBCh…芮。（见图6）^S-ABC=ISwcSF=
8、冷
9、ab
10、
11、bc
12、
13、sf
14、讨冷・2・2・QV
15、3Lh因为FG〃AB,所以FG与平面SBC所成的角a即为AB与平面SBC所成的角。SDxSEV3SF二DEC（图7）因为和丰所以h£・帯翠，即A到平面SBC的距离为翠如图7,设A到平面SBC的距离为h,取SC中点M,连结BM,因为SD丄AB,CD〃AB,SD±CD,SC=y/SD2+CD2=41BM=y）BC2-CMVw=gSac・q・11
16、SC
17、
18、BMIr则sina二丄AB2V2172又因为AB二2,设AB与平面SBC所成的角为0C,V21.V21~TfAB与半面SBC加成的角az〒方法三：建立空间直角坐标系利用法向量求解建立空间直角坐标系，求平面的法向量，育线与法向量所成角的余弦值即为线血角的正弦值。(见图8)解法4：如图9,以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，射线CB为y轴正半轴，建立如
