资源描述：
《中考数学复习指导：利用常规思维证明复杂几何题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用常规思维证明复杂几何题儿何证明题的形式多种多样，千姿百态.但无论其结论是何种形式，题屮所给的条件与所证的结论都是有内在联系的.抓住这种联系，联想相关的定义、性质和定理，其证明思路也是有一定规律可循的.如：遇线段（角）的“和、差、倍、分”的证明，常截长补短（或加倍减半）；遇“线段等积式”的证明，常利用（构造）相似三角形；遇“中点”，常构造中线或屮位线；等等.这就是所谓的常规思维.愿下面这道题的儿种证法，能帮助同学们在证明复杂儿何题时，通过常规思维，迅速找到解决问题的有效途径.题目：梯形ABCD中，AD〃BC,M、N分别是AD、BC的屮点，若ZB与ZC互余,求证：BC-AD
2、二2MN.分析1：若从条件“梯形ABCD中，ZB与ZC互余”出发来考虑，可先构造直角三角形,注意到“中点''条件，再利用直角三角形的性质.于是有：证法1：如图1,延长BA、CD交于E,连EN交AD于M'.由ZB与ZC互余，知ZBEC=90°,ABEC为直角三角形.・・・AD〃BC,N为BC+点・・・竺二竺二竺・・・DM，ANT,BNCif即M'是AD的中点，又M是AD的中点，・・・NT与M重合，即E、M、N三点共线.由直角三角形的性质知：en=1bc,em=1ad,22AEN-EM=1(BC-AD)故BC-AD=2MN.2按此思路，还可过点M分别作ME〃AB,MF〃DC,交
3、BC于E、F(如图2),仿上证Z・证明过程请读者自已完成.分析2：若从结论的左端“BC—AD”岀发來考虑，可先考虑截长，构造BC-AD的差所在的线段，再证这条线段与MN的关系.于是有：证法2：如图3,在BC上截取BE=AD,连DE,由梯形ABCD,知，四边形ABED・・・ZB与ZC互余，・•・ZEDC=90°取EC中点F,连DF,则有DF=1EC=2(BC-BE)二丄(BC—AD)；222VNF=EF-EN=1eC-(BN-BE)=2(BC-AD)一(2bC-AD)=1AD,又M2222是AD的中点，/.MD=NF又MD〃NF二四边形MNFD是平行四边形.AMN=DF=1(
4、BC-AD)即BC-AD=2MN.2分析3：若从结论的右端“2MN”出发来考虑，可构造三角形的中位线，找出与2MN相等的线段(不妨设2MN=a),再证这条线段恰好等于BC-AD的差所在的线段(不妨设BC—AD=b),即证a=b.于是有：证法3：如图4,过点C作CG〃MN,交BM的延长线于G,连DG.GTN是BC的屮点，・・・M是BG的中点，从而MN是ABCG的中位线，即2MN=CG；又过A作AH〃DC交BC于H,则四边形AHCD是平行四边形，从而ZAHB=ZC,BH=BC-AD；VZB与ZC互余，・・・ZBAH=90Q,由M是AD的中点，又是BG的中点，知AAMB^ADMG
5、(SAS),・・・DG=AB,ZMDG=ZMAB；由卩4边形AHCD是平行四边形，知，DC=AH;VZCDG=360B-(ZMDG+ZADC)=3600-(ZMAB+ZADC)=3600-(36OQ-ZB-ZC)=36Oo-(36OD-9OD)=90c,・*.ACDG^AHAB(SAS),・・・CG=HB=BC-AD,即BC-AD二2MN.分析4若从结论的左右两端同时出发来考虑，需找出与“2MN”相等的线段(不妨设2MN=m)及与“BC—AD”相等的线段(不妨设BC—AD=n)，证m=n即可.于是有：证法4：如图5,过点D作DF〃MN并延长DF至G,使FG=DF,即2MN=
6、DG；再过点C作CE〃AB交AD的延长线于E,连CG、AG(设AG交BC于点N'),则四边形ABCE是平行四边形，从而BC—AD=DE；・・・M是AD中点，又MN〃DG,・・・点N'必是AG的中点(经过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边),AMN,是AADG的中位线，从而2MNZ=DG,又2MN=DG,・・・N‘与N重合，从而N是AG的中点；TN是BC的中点，AACGN^ABAN(SAS),・・・ZNCG=ZB,CG=BA,・・・CG〃AB,又EC〃AB且EC=AB,・・・E、C、G三点共线，VZE=ZB,ZCDE=ZBCD,ZB与ZBCD互余，AZDCE=9O
7、0,ADC是GE的中垂线，从而DE=DG=2MN,即2MN=BC-AD.
