逻辑代数基础2

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1、第二章逻辑代数基础在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。此时，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。§2.1概述逻辑代数？一、与逻辑（与运算）与逻辑：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Ｙ＝ＡＢＣ…例：开关A，B串联控制灯泡YA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。§2.2逻辑代数中的三种基本运算A、B都接通，灯亮。功能表将开关接通记作1，断开记作0；灯亮

2、记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：真值表Ｙ＝Ａ•Ｂ两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：Ｙ＝Ａ•Ｂ二、或逻辑（或运算）或逻辑：当决定事件（Y）发生的各种条件A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：功能表真值表Ｙ＝Ａ+Ｂ实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+B三、非逻辑（非运算）非逻辑：指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：Y＝A′

3、功能表真值表实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：Y＝A′常用的逻辑运算1、与非运算：逻辑表达式为：2、或非运算：逻辑表达式为：3、异或运算：逻辑表达式为：异或逻辑的运算规则：0⊕0=00⊕1=11⊕0=101⊕1=A⊕0=A⊕1=A⊕A′=A⊕A=AA′104、同或运算：逻辑表达式为：＝A⊙B异或和同或互为反运算同或逻辑的运算规则：0⊙0=10⊙1=01⊙0=011⊙1=A⊙0=A⊙1=A⊙A′=A⊙A=AA′105、与或非运算：逻辑表达式为：§2.3逻辑代数的基本公式和常用公式一、基本公式请特别注意与普通代数不同之处1.常量之间的关系2.基本公式亦称非非律3.基本

4、定理二、常用公式1.A+AB=2.A+A′B=A′+AB=A(A′+B)=A′(A+B)=注:红色变量被吸收掉！统称吸收律注:红色变量被吸收掉！统称吸收律AA+BA′+BABA′B证明:A+A′B=(A+A′)•(A+B);分配律=1•(A+B)=A+BA+BC=(A+B)(A+C)3.AB+AB′=4.A(A+B)=证明:A(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A(1+B)=A(A+B)(A+B′)=注:红色变量被吸收掉！也称吸收律AAA5.AB+A′C+BC=证明:AB+A′C+BC=AB+A′C+(A+A′)BC=AB+A′C+ABC+A′BC=AB(1+C)+A

5、′C(1+B)=AB+A′CAB+A′C+BCD=AB+A′CAB+A′C冗余定律或多余项定理或包含律(A+B)(A′+C)(B+C)=(A+B)(A′+C)(A+B)(A′+C)(B+C+D)=(A+B)(A′+C)冗余定律或多余项定理的其他形式同理：此多余项可以扩展成其他形式6.A·(A·B)′=A′·(A·B)′=证明:A·(A·B)′=A·(A′+B′)=A·A′+A·B′=A·B′A′·(A·B)′=A′·(A′+B′)=A′·A′+A′·B′=A′·(1+B′)=A′A·B′A′**一、代入定理任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数

6、代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。例如，已知等式　　　　　，用函数Y=BC代替等式中的B，根据代入定理，等式仍然成立，即有：§2.4逻辑代数的基本定理二、反演定理对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y′（或称补函数）。这个规则称为反演定理。应用反演定理应注意两点：1、保持原来的运算优先顺序，即如果在原函数表达式中，AB之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是AB之间先运算。2、不属于单个变

7、量上的反号应保留不变。三、对偶定理对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式YD,YD称为Y的对偶式。对偶定理：如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。（2）式（12）式**§2.5逻辑函数及其表示方法一、逻辑函数如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。Y=F(A,