第2章 逻辑代数基础

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1、第2章逻辑代数基础2.1概述2.2逻辑代数中的三种基本运算2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.4逻辑代数的基本定理2.5逻辑函数及其表示法2.6逻辑函数的化简方法2.7具有无关项的逻辑函数及其化简在数字电路中，一位二进制数0和1，即可以表示数量的大小，也可以表示两种不同的逻辑状态，表示逻辑状态时，没有数量大小的含义，只是表示一个事物的两个对立面，如开关的通与断、灯的明与暗、事物的好与坏、真与伪等等，这种只有两种对立状态的逻辑关系称为二值逻辑。当二进制数表示逻辑状态时，用逻辑运算。它是处理逻辑变量的一种数学方法——布尔代数。基本的逻辑运算有三种：与

2、、或、非。2.1概述1、逻辑与（与运算）逻辑与的定义：当且仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：开关A，B串联控制灯泡YＹ＝Ａ×Ｂ×Ｃ…＝Ａ·Ｂ·Ｃ…＝ＡＢＣ…2.2逻辑代数中的三种基本运算两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：Ｙ＝ＡＢ这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：功能表实现逻辑与的电路称为与门。与门的逻辑符号：真值表图形符号逻辑与：输入有1个0，输出就为0，只有输入全为

3、1，输出才为1。2、逻辑或（或运算）逻辑或的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…两个开关只要有一个接通，灯就会亮。Ｙ＝Ａ+Ｂ逻辑表达式为：实现逻辑或的电路称为或门。或门的逻辑符号：真值表功能表图形符号逻辑或：输入有1个1，输出就为1，只有输入全为0，输出才为0。3、逻辑非（非运算）逻辑非指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：Ｙ＝Ａ’开关A控制灯泡Y实现逻辑非的电路称

4、为非门。非门的逻辑符号：A断开，灯亮。A接通，灯灭。真值表功能表图形符号4、复合逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：（2）或非运算：逻辑表达式为：与非的图形符号或非的图形符号（3）与或非运算：逻辑表达式为：真值表（4）异或运算：逻辑表达式为：（5）同或运算：逻辑表达式为：同或和异或的关系：异或逻辑的图形符号同或逻辑的图形符号对于异或运算：①自身异或清零②与0异或保持③与1异或求反对于同或运算：①自身同或置1②与0同或求反③与1同或保持小结逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可以用逻辑运

5、算的方法，解决逻辑电路的分析和设计问题。与、或、非是3种基本逻辑关系，也是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或非、异或、同或则是由与、或、非3种基本逻辑运算复合而成的5种常用逻辑运算。2.3逻辑代数的基本公式和常用公式在逻辑运算中常用一些公式对逻辑代数进行运算和化简。③互补律：①0－1律：②重叠律：⑥分配律：④交换律：⑤结合律：⑦反演律：去掉反号的规则：原变量反变量与或⑩对合律：⑧吸收律：⑨双重否定：⑾吸收反因子：⑿吸收多余项在对复杂的逻辑函数式进行运算时，要注意运算顺序:①括号（）②与.③或+逻辑代数的证明：①推演法；②真值表法①推演法证明吸收多余

6、项：证明：左＝====右证明：逻辑代数的证明：①推演法；②真值表法①推演法证明：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111②真值表法：若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。②真值表法证明反演律：由真值表得知，对于A、B的各种取值组合，AB和A+B的值都相等，所以原式成立。证明：例：证明例：证明或：例：证明②真值表法证明反

7、演律：由真值表得知，对于A、B的各种取值组合，AB和A+B的值都相等，所以原式成立。若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；因此，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表，看看它们的真值表是否相同即可。证明：三个基本定理：代入定理反演定理对偶定理2.4逻辑代数运算的基本定理一、代入定理：在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。例如，利用代入定理证明两变量的反演律也适用于多变量：用函数AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：二、反演定理：（用于求反函数

8、的定理）已知一个逻辑函数式Y,若要求，只需将式中的所有“·”“＋”，“＋”“·”，“0”“1”，“1”“0”，“A”“”,