高考数学第一轮复习立体几何专题题库39

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1、441.已知直线PG⊥平面a于G，直线EFa，且PF⊥EF于F，那么线段PE、PF、PG的关系是（　）．　　A．PE＞PG＞PFB．PG＞PF＞PE　　C．PE＞PF＞PGD．PF＞PE＞PG解析：C．如图答9-17．PG⊥a，EFa，PF⊥EF，则GF⊥EF．在Rt△PGF中，PF为斜边，PG为直角边，PF＞PG．在Rt△PFE中，PF为直角边，PE为斜边，PE＞PF，所以有PE＞PF＞PG．442.下列命题中正确的是（　）．　　A．若a是平面a的斜线，直线b垂直于a在平面a内的射影为，则a⊥b　　B．若a是平面a的斜线，平面b内的直线b垂直于a在平面a内的射影为，则a⊥b　　C．

2、若a是平面a的斜线，直线b平行于平面a，且b垂直于a在平面a内的射影，则a⊥b　　D．若a是平面a的斜线，b是平面a内的直线，且b垂直于a在另一个平面b内的射影，则a⊥b解析：C．如图答9-18，直线b垂直于a在平面a内的射影，但不能得出a⊥b的结论．排除A．令b是直线a与其在a内的射影确定的平面，在b内取垂直于的直线为b，不能得出a⊥b的结论．排除B．同理排除D．如图答9-19，在a内任取点P，∵，则过b与P确定平面g，设，因为b∥a，则．∵，∴．∴，∴b⊥a．于是C正确．443.设正方体的棱长为1，则　　（1）A到的距离等于________；　　（2）A到的距离等于_______

3、_；　　（3）A到平面的距离等于________；　　（4）AB到平面的距离等于________．解析：1）连接，AC，则，取的中点E，连结AE，则．∴AE为点A到直线的距离，在Rt△ACE中，，，∴，∴．即A到、C的距离等于．（2）连结．∵AB⊥平面，∴．在Rt△中，AB=1，，，设A到的距离为h，则．即，∴，即点A到的距离为．　　（3）连结交于F，则．∵CD⊥平面，且AF平面，∴CD⊥AF．∵CD∩AD=D，∴AF⊥平面．∴AF为点A到平面的距离．∵，∴．　　（4）∵AB∥CD，∴AB∥平面，∴AB到平面的距离等于A点到平面的距离，等于．444.已知正方体．则　　（1）与平面AB

4、CD所成的角等于________；　　（2）与平面ABCD所成的角的正切值等于________；　　（3）与平面所成的角等于________；　　（4）与平面所成的角等于________；　　（5）与平面所成的角等于________.解析：（1）∵⊥平面ABCD，∴为与平面ABCD所成的角，=45°．　　（2）∵⊥平面ABCD，∴为与平面ABCD所成的角．设，则，∴　　（3）∵平面，，∴∥平面，∴与平面所成的角为0°．　　（4）∵⊥平面，∴与平面所成的角为90°．　　（5）连结AC，交AD于H．连结，∵⊥平面ABCD，CH平面ABCD，∴，又∵CH⊥BD，∴CH⊥平面．∴为在平面内的

5、射影．∴为与平面所成的角．设正方体棱长为1，则，，∴，即与平面所成的角为30°．445.如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．图9-29解析：连结AC，取AC中点O，连结OM，ON．由OM∥BC，得OM⊥AB．又NO∥PA，且PA⊥AB，故NO⊥AB．由此可得AB⊥平面OMN．因此MN⊥AB．446.如图9-30，直线a、b是异面直线，它们所成角为30°，为a、b的公垂线段，．另有B在直线a上，且BA=2cm，求点B到直线b的距离．解析：如图答9-作，则与b确定平面a．作于C，在平面a内作CD⊥b于D，连结BD．∵∴．∵，，

6、∴．∵，∴BC⊥a．∵CD⊥b，∴BD⊥b（三垂线定理），即BD为B点到b的距离．∵，∴为异面直线a与b所成的角，∴．∵，，∴CD=1．在Rt△BCD中，，CD=1，∠BCD=90°，∴，∴．447.如图9-31，SA、SB、SC三条直线两两垂直，点H是S在平面ABC上的射影，求证：H是△ABC的垂心．解析：∵SC⊥SA，SC⊥SB，且SA∩SB=S，∴SC⊥平面SAB，∴AB⊥SC．∵H是S在平面ABC上的射影，∴SH⊥平面ABC．连结CH，CH为SC在平面ABC上的射影，∵AB⊥SC，由三垂线定理的逆定理可知CH⊥AB，即CH为AB的垂线．同理AH⊥BC，即AH为BC边的垂线．H

7、为△ABC两条垂线的交点，∴H为△ABC垂心．448.如图9-32，△ABD和△ACD都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD，∠BAC=60°．求证：图9-32　　（1）BD⊥平面ADC；　　（2）若H是△ABC的垂心，则H为D在平面ABC内的射影．解析：（1）设AD=BD=CD=a，则．∵∠BAC=60°，∴．由勾股定理可知，∠BDC=90°．即BD⊥DC，又∵BD⊥AD，AD∩DC=D，∴BD⊥平面ADC．　　（2）如图答9-21，要证H是