高考数学第一轮复习立体几何专题题库18

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1、231.如图2－35：在空间四边形ABCD中，已知BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD。ABDCEFH图2－35解析：要证AH⊥平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。证明:取AB中点F，连结CF、DF，∵AC＝BC，∴CF⊥AB，又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF，又CD平面CDF，∴CD⊥AB又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，CD⊥AH又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD。PACBEO图2－36点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，

2、而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面α内的任何直线，则a⊥α，反之，若a⊥α，则a垂直于平面α内的任何直线。232.如图：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E　，求证：AE⊥平面PBC。证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。233.如图：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB

3、、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。8解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。CPADB可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC共8个。234.如图：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD求证：BD⊥ACBCDA证明：设BD的中点为K，连结AK、CK，∵AB＝AD，K为BD中点∴AK⊥BD同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K∴BD⊥平面AKC∴BD垂直于平面AKC内的所有直线235.如图2－40：P是△ABC所在

4、平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。求证：H是ABC的垂心。ABCDOPA1B1C1D1证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC，ABDCHP∴PA⊥平面PBC，BC平面PBC∴BC⊥PA∵PH⊥平面ABC，BC平面ABC∴BC⊥PH∴BC⊥平面PAH，AH平面PAH∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB，因此H是△ABC的垂心。236.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心，求证：B1O⊥平面PAC。证明：如图：连结AB1，CB1，设AB＝1∵AB1＝CB1＝，AO＝CO，

5、∴B1O⊥AC，连结PB1，∵∴∴B1O⊥PO，∴B1O⊥平面PAC。237.正方体各个面所在的平面能将空间分成m个部分，m应等于　　　　　　　　　　　　　（　　）A.27B.21C.18D.9解析：A如果将正方体各个面延展，可视为将空间分成三个层面，上面如图标出直角的层面，中间一层，下面一层，而上面一个层面中，又分成九个部分，共93=27个部分。238.三棱锥P—ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上一点Q到侧面PAB、侧面PBC、侧面PAC的距离依次为2，3，6。求：P、Q两点间的距离。解析：如图，作QE⊥面PAB，QM⊥面

6、PBC，QH⊥面PAC，E、M、N为垂足。由PA、PB、PC两两垂直，所以PC⊥面PAB，PB⊥面PAC，PA⊥面PBC，可得三个侧面两两垂直。设平面QEM与PB交于F，平面QEH与PA交于G，平面MQH与PC交于N，连接EF、MF、GH、GQ、NH、NM，可证明QMNH-EFPG是长方体。∴PQ===7。239.已知：如图，ABCD是边长为2的正方形，PC⊥面ABCD，PC=2，E、F是AB、AD中点。求：点B到平面PEF的距离。解析：由BD∥EF可证DB∥平面PEF，则点B到平面PEF的距离转化为直线与平面PEF的距离。又由平面PCA垂直平

7、面PEF，故DB与AC的交点到两垂直平面的交线的距离为所求距离。方法一：连接DB，AC交于O点，设AC交EF于G，连PG，作OH⊥PG，H为垂足。∵E、F是AB、AD中点，∴EF∥DB，∴DB∥面PEF，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，∵PC⊥面ABCD，∴EF⊥PC，∴EF⊥面PCG，∵EFÌ面PEF，∴面PEF⊥面PCG，∵OH⊥PG，∴OH⊥面PEF，即OH为所求点B到平面PEF的距离。由ABCD边长为2，∴AC=2，GO=，GC=，∵PC⊥面ABCD，∴PC⊥AC，∴△OHG∽△PCG，∴,由PC=2，PG=∴OH==即

8、点B到平面PEF的距离为。方法二：如图，连接BF、PB，设点B到平面PEF的距离为d，由VP-BEF=S△BEF·PC=××BE×AF×PC=×1×1