高考数学第一轮复习立体几何专题题库10

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1、141.已知菱形ABCD边长为a，且其一条对角线BD＝a，沿对角线BD将折起所在平面成直二面角，点E、F分别是BC、CD的中点。(1)求AC与平面AEF所成的角的余弦值(2)求二面角A－EF－B的正切值。(1)解析：：菱形ABCD的对角线，，中位线EF//BD，可知面AOC，，故面，这样AC在面AEF内的射影就是AG，就是AC与平面AEF的成角，解三角形AOC可得。(2)分析：由前一小问的分析可知，就是二面角A－EF－B的平面角，在中，，，。142.如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是CC1的中点，求二面角B-B1E-D的余弦值。解析：图中二面角的

2、二个半平面分别为△DEB1所在的半平面和△BEB1所在的半平面，即正方体的右侧面，它们的交线即二面角的棱B1E。不难找到DC即为从其中的一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。BCC1B1EF解：由题意可得直线DC平面BEB1，且垂足为C，过C作CFB1E于F（如图，F在B1E的延长线上），连DF，则由三垂线定理可得DFC即二面角的平面角。△B1C1E~△CFE，∴CF=；DF=BACDD1A1B1C1EF∴cosDFC=。即二面角的平面角的余弦值为。143.PEDCl如图，在平面角为600的二面角-l-内有一点P，P到、分别为PC=2cm,PD=3c

3、m,则垂足的连线CD等于多少？（2）P到棱l的距离为多少？解析：对于本题若这么做：过C在平面内作棱l的垂线，垂足为E，连DE，则CED即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单，实际上在证明CED为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问题，需要证明P、D、E、C四点共面。这儿，可以通过作垂面的方法来作二面角的平面角。解：∵PC、PD是两条相交直线，∴PC、PD确定一个平面，设交棱l于E，连CE、DE。∵PC⊥，∴PC⊥l,又∵PD⊥，∴PD⊥l。∴l⊥平面，则l⊥CE、DE，故CED即为二面角的平面角，即CED=600。∴CPD=1△PCD中，PD=3，PC=2，

4、由余弦定理得CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四点共圆，且PE为直径，由正弦定理得PE=2R===cm。说明：三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重视。144.如图，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB=2，CD=4，P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是边长为10的正三角形，求平面PAD与面PBC所成的角.解法一：如图，延长DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位线，CB＝BE＝10.又△PCB为正△，易证△PCE为直角三角形，PE⊥PC.又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交

5、线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小为arcsin.解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，平面PAD⊥平面ABCDCD⊥AD，BA⊥ADBA⊥平面PADCD⊥平面PAD△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S△PDA＝S△PCB·cosθ.Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2.∴△PAD为等腰三角形且S△PAD＝PD·AH＝15.cosθ＝＝＝，D1O1A

6、1BDAB1CC1θ＝arccos＝.PBBCDAA145.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，点A1在底面的射影O在AB上，已知侧棱A1A与底面ABCD成450角，A1A=a。求二面角A1-AC-B的平面角的正切值。（答案：）146.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABC=900，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。（答案：arctg）147.已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=71/2时

7、，求二面角P—AC—B的大小。　　作法一：∵A—CP—B为直角二面角，∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DMAPC。∴过D作DE⊥AC，垂足为E，连BE。∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′，∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。148.矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。　　这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于

8、搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作