高考数学第一轮复习立体几何专题题库54

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1、591.两个惟一性定理．(1)过一点有且只有一条直线和一已知平面垂直(2)过一点有且只有一个平面和一已知直线垂直过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A，且垂直于直线a的平面内，试证之．已知：A∈α，a⊥α于点O，AB⊥a．求证：证明：假AB不在平面α内，连结AO．∵a⊥α∴a⊥AO．又a⊥AB，且AO∩AB=A．∴a垂直于相交直AO、AB所确定的平面β．说明： 关于直线和平面垂直的问题中，有两个基本作图：(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．这两个基本作图可作为公理直接使用．592.直线上有两点到平面α的距离相等，这

2、条直线和平面α的位置如何？解析：(1)若直线上的两点到平面α的距离都等于0，这时直线在平面α内(如图)(2)若直线上的两点在平面α的两侧,且到平面α的距离相等,这时直线与平面α相交(如图)．(3)若直线l上的两点在平面α的同一侧，且到平面α的距离相等(如图)．∵AA1⊥α于点A1，BB1⊥α于点B1．又A、B均在l上，且在α的同侧．∴AA1BB1∴AA1BB1为一平行四边形．∴AB∥A1B1∴这时直线l与平面α平行．想一想：若直线l上各点到平面α的距离都相等，那么直线l和平面α的位置关系又怎样？593.经过两条相交直线，有且只有一个平面证明：如图：设直线a、b相交于

3、点A，在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在一直线上的三点A、B和C，过这三点有且只有一个平面α（公理3），因此a、b各有两点在平面α内，所以a、b在平面α内，因此平面α是过相交直线a、b的平面．如果过直线a和b还有另一个平面β，那么A、B、C三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A、B、C就有两个平面α、β了，这和公理3矛盾，所以过直线a、b的平面只有一个．594.经过两条平行直线，有且只有一个平面证明：因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，所以两条平行直线a和b必在某个平面α内，就是说过两条平行直线有一个平面．如果过a和b还有一个

4、平面β，那么在a上的任意一点A一定在β内这样过点A和直线b有两个平面α和β，这和推论1矛盾，所以过平行直线a和b的平面只有一个．595.直线与平面α所成角θ的范围是（）A、0°<θ<90°B、0°θ90°C、0°<θ<180°D、0°θ180°解析：B596.两条一异面直线所成的角的范围是？直线与平面所成的角的范围是？两个半平面所成二面角的范围是？斜线与平面所成的角的范围是？解析：，，直线在平面内或直线与平面平行定为0，规定两个半平面重合时为0，两个半平面展成一个平面为180度。597.AB、CD为夹在两个平行平面α、β间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求

5、证：MN∥α.解析：过C作CE∥AB交β于E，取CE中点P则AB∥CEAC∥BEMP∥ACBP∥α(1)MP∥β；(2)PN∥EDPN∥β.∴面MN∥面β∴MN∥面α，MN∥α598.平面α∥平面β，A、B∈α，C∈β，AA′⊥β于A′，BB′⊥β于B′，若AC⊥AB，AC与β成60°的角，AC=8cm,B′C=6cm,求异面直线AC与BB′间的距离.解析：∵BB′⊥α∴BB′⊥AB又∵AC⊥AB∴AB为AC与BB′的公垂线又∵AB=A′B′AB∥A′B′AC⊥A′B′∴A′C′⊥A′B′A′B′=599.某人买了一罐容积为V升、高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车

6、油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为b、c的地方(单位：米).为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液油最理想的估计能剩多少?解析：如图所示，建立模型，设直三棱柱为ABC—A′B′C′，破损处为D、E.并且AD＝b,EC＝c,BB′＝a.则罐内所剩液油的最大值即为几何体ABC—DB′E的体积.连结BD、CD∵＝，而＝,＝V,∴＝.又∵＝，∴VD-ABC＝·＝.故＝+VD-ABC＝，即最理想的估计是剩下升.600.要修建一座底面是正方形且四壁与底面垂直的水池，在四壁与底面面积之和

7、一定的前提下，为使水池容积最大，求水池底面边长与高的比值.解析：为了建立体积V的函数，我们选底面边长和高为自变量.设水池底面边长为a，水池的高为h，水池容积为v，依题意，有a2+4ah＝k(k为定值).∴v＝a2h＝a2＝(v＞0),∴v2＝a2(k-a2)2＝·2a2(k-a2)(k-a2)≤()3＝·＝(当且仅当2a2＝k-a2时，即k＝3a2时等号成立)，故a2+4ah＝3a2,即a∶h＝2∶1时，水池容积最大为.