高考数学第一轮复习立体几何专题题库27

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1、321.如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN＝AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.解析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.证：连AN并延长交BE的延长线于P.∵BE∥AF，∴ΔBNP∽ΔFNA.∴＝，则＝.即＝.又＝，＝，∴＝.∴MN∥CP，CP平面CBE.∴MN∥平面CBE.322.一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：α∩β＝a,l∥α,l

2、∥β.求证：l∥a.解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b.过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c.∴b∥c，显然cβ.∴b∥β.又bα，α∩β=a，∴b∥a.又l∥b.∴l∥a.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.323.如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP∶PC＝1∶2，SQ∶SB＝2∶3，SR∶RD＝2∶1.求证：SA∥平面PQR.解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可

3、.证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ON∥SA.∵＝＝∴RQ∥BD∴＝而＝∴＝∴PM∥ON∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR∴SA∥平面PQR.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.324.证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明如图，设直线a∥平面α，点A∈α,A∈直线b,b∥a，欲证bα.事实上，∵b∥a，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，∵a∥α,∴a∥c，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c

4、重合，即bα.325.S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD＝CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ.证在ΔADC中，因AE∶AD＝CF∶CD，故EF∥AC，而AC平面ACS，故EF∥平面ACS.而RQ＝平面ACS∩平面RQEF，故EF∥RQ(线面平行性质定理).326.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E＝C′F求证：EF∥平面AC.解析：如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.证法1过E、F分别做AB、BC的

5、垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN∵BB′⊥平面AC∴BB′⊥AB，BB′⊥BC∴EM⊥AB，FN⊥BC∴EM∥FN，∵AB′＝BC′，B′E＝C′F∴AE＝BF又∠B′AB＝∠C′BC＝45°∴RtΔAME≌RtΔBNF∴EM＝FN∴四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN平面AC∴EF∥平面AC证法2过E作EG∥AB交BB′于G，连GF∴＝∵B′E＝C′F，B′A＝C′B∴＝∴FG∥B′C′∥BC又∵EG∩FG＝G,AB∩BC＝B∴平面EFG∥平面AC又EF平面EFG∴EF∥平面AC327.如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB

6、∥平面EFGH；(2)CD∥平面EFGH证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB.∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.(2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.评析：由线线平行线面平行线线平行.328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知：a∥b,a∩α＝A，求证：b和α相交.证明：假设bα或b∥α.若bα，∵b∥a，∴a∥α.这与a∩α＝A矛盾，∴bα不成立.若b∥α，设过a、b的平面与α交于c.∵b∥α,∴b∥c,又a∥b∴a∥c∴a∥α这与a∩α＝

7、A矛盾.∴b∥α不成立.∴b与α相交.329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.已知：a∥b,aα，bβ，α∩β＝c.求证：c∥a∥b330.在下列命题中，真命题是()A.若直线m、n都平行平面α，则m∥n;B.设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥n，m⊥β；C.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行