高考数学第一轮复习立体几何专题题库41

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1、461.如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a.(1)求证：AF⊥A1C(2)求二面角C—AF—B的大小分析本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解(1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB连结EF，由于AB＝2AA1∴AA1FE为正方形∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a∴CE＝a,OE＝a,∴tan∠C

2、OE＝＝2.∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.462.如图9-51，已知ABCD、ABEF、CDFE都是长方形，且平面ABCD⊥平面ABEF．记∠FCE=q，∠CFB=a，∠CEB=b，则有（　）．　　A．sinb=sina·sinq　　　　　　　B．cosa=cosb·cosq　　C．sina=sinb·cosq　　　　　　　D．sinb=sina·cosq解析：C．于是sina=sinb·cosq．463.设直线l、m，平面a、b、g满足b∩g=l，l∥a，ma，且m⊥g，则必有（　）．　　A．a⊥g，且l⊥m　　　　　　　B．a⊥g，且m∥b　　C．m∥b，且l⊥m　　　　　　

3、　D．a∥b，且a⊥g解析：A．464.一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内（都不在棱上），则这条线段与这两个平面所成的角的和（　）．　　A．等于90°　　　　　　　　　　B．大于90°　　C．不大于90°　　　　　　　　　D．不小于90°解析：C．如图答9-45，设直二面角a-l-b，作AC⊥l于C，BD⊥l于D．∵　a⊥b，则AC⊥b，BD⊥a，连结BC、AD，则∠ABC为AB与平面b所成的角，∠BAD为AB与平面a所成的角．　　当AB⊥l时，易得AB与a、b所成角之和等于90°，当AB与l不垂直时，设，，，，，∵　BC＞BD，∴　，∵　函数y=sinx在上是增函数，∴　，∵　，

4、∴　，∴　．故AB与a、b所成角之和≤90°．465.如图9-52，A是△BCD所在平面外一点，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则二面角A-BD-C的平面角是（　）．　　A．钝角　　　　　　　　　　　　B．直角　　C．锐角　　　　　　　　　　　　D．大小不确定的解析：A．取BD中点E，连结AE、CE，由AB=AD，∠ABC=∠ADC，AC=AC得△ABC≌△ADC，∴　DC=BC，∴　AE⊥BD，CE⊥BD，∴　∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．∵　，，，∴　，∵　∠AEC为钝角466.已知二面角a-l-b的大小为q（q是锐角），A∈l，B∈l，，且P∈a，P在b内的射影为P′．记

5、△ABP的面积为S，则△ABP′的面积S′等于________．解析：Scosq．作PH⊥l于H，连结．∵　，∴　（三垂线定理的逆定理）．∴　为二面角a-l-b的平面角，即．，，∴　图答9-46467.平面a⊥平面g，平面b⊥平面g，且a∩g=a，b∩g=b，a∥b，平面a与b的位置关系是________．解析：平行．在g上作l⊥a，∵　a∥b，∴　l⊥b．∵　a⊥g于a，∴　l⊥a，同理l⊥b．∴　a∥b．468.．如图9-53，是长方体，AB=2，，求二平面与所成二面角的大小．解析：∵　平面ABCD∥平面，∴　平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线．直线l就是二平面与所成二面角的棱．又

6、⊥平面，过作AH⊥l于H，连结AH．则为二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小为或469.在正方体中，，，且，（如图9-54）．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．解析：由于BCMK是梯形，则MK与CB相交于E．A、E确定的直线为l，过C作CF⊥l于F，连结MF，因为MC⊥平面ABCD，CF⊥l，故MF⊥l．∠MFC是二面角M-l-C的平面角．设正方体棱长为a，则，．在△ECM中，由BK∥CM可得，，故．因此所求角的大小为或．470.如图9-55，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．　　（1）指出这个二面角的面、棱、平面角；　　（2）若二面角是直二面角，求的长；　　

7、（3）求与平面所成的角；　　（4）若二面角的平面角为1求二面角的平面角的正切值．解析：（1）∵　AD⊥BC，∴　AD⊥DC，，∴　二面角的面为ADC和面，棱为AD，二面角的平面角为．　　　（2）若，∵　AC=a，∴　，∴　．　　　（3）∵　，AD⊥DC，∴　AD⊥平面．∴　为与平面所成的角，在Rt△中，，∴　，于是．　　　（4）取的中点E，连结AE、DE，∵　，，∴　，，∴　∠AED为二面角的平面