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《高考数学第一轮复习立体几何专题题库49》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、541.如图，已知直线a∥平面α；求证：过a有且只有一个平面平行于α.证明(1)存在性：设过a的平面与α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α上，设直线b′∩a′＝A′,在a上取点A，A与b′确定平面δ，在δ上过A作b∥b′.则a、b是相交直线(若重合，则显然b′∥a′，矛盾).∴a,b确定平面β，则β∥α.(2)唯一性：设过a还有一个平面π∥α，∵π与δ有公共点A，∴π与δ相交于过A的直线b″，又π∥a，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A，故重合，故π与β重合.542.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.已知：Aα，A∈β，β
2、∥α求证：β是唯一的.证：设l过A点，且l⊥α，这样的直线是唯一的.又β∥α，则β⊥l，过点A与α平面的平面一定和l垂直.∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.∴过点A和α平行的平面是唯一的.543.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.解析：(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α,a′∩α＝B,a′∩β＝B′.连结AB
3、和A′B′.∵a∥β，a′⊥α.∴α′⊥β由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.∴∠PAB＝∠PA′B′即a和α所成的角等于a和β所成的角.544.a和b是两条异面直线，求证：过a且平行b的平面必平行于过b且平行于a的平面.已知：a,b是异面直线，aα，bβ,a∥β,b∥α.求证：α∥β.证：过b作平面与平面α交于b′545.如图，直线AC、DF被三个平行平面α、β、所截.求证：＝证：(i)当AC，DF共面S时，连AD，BE，CF则AD∥BE∥CF从而＝(ii)当AC、DE异面时，连CD设CD∩β＝G连AD
4、、BG、GE、CF，如图∵α∥β，平面ACD∩β＝BG，平面ACD∩α＝AD.∴BG∥AD∴＝同理可证：EG∥CF，∴＝∴＝综合(i)(ii)知：＝.546.设直线a在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a∥平面β”的()条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充分且必要D.不充分也不必要解析：若α∥β，∵aα，∴a与β无公共点，∴a∥β.若a∥β，aα，则α，β的关系不能确定，所以应选A.547.设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是()A.经过直线a有且只有一个平面平行于直线bB.经过直线a有且只有一个平面垂直于直线bC.存在分别经
5、过直线a和b的两个互相平行的平面D.存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面解析：A、C、D均为真命题，B为假命题；∵若过a的平面α⊥b,则b垂直α内的直线a，从而a⊥b，那么限制a,b必须垂直，而条件中没有指明a、b是否垂直.548.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面α∥β的是()A.α、β都垂直于平面B.α内不共线的三点到β的距离相等C.l、m是α内的直线，且l∥β，m∥βD.l、m是两条异面直线，且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β解析：显然B、C不能推出α∥β，有α、β相交的情况存在，对于A、D，学了“面面垂直”后，就可以说明A不
6、能推出α∥β，α、β有相交的可能，从而选D.事实上，l∥α，m∥α，在α内任取一点A，过A作l′∥l，m′∥m,因为l,m异面，所以l′,m′相交，则可推出l′∥β，m′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.549.已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F(1)求证：AF⊥SC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD解析：如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需证AE
7、⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证证明(1)∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC∵矩形ABCD，∴AB⊥BC∴BC⊥平面SAB∴BC⊥AE又SB⊥AE∴AE⊥平面SBC∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC(2)∵SA⊥平面AC∴SA⊥DC，又AD⊥DC∴DC⊥平面SAD∴DC⊥AG又由(1)有SC⊥平面AEF，AG平面AEF∴SC⊥AG∴AG⊥平面SDC∴AG⊥SD550.三棱柱ABC—A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1.求证：AB1⊥CA1.证方法1如图，延长B1C1到D，使C1D＝
8、B1C1.连CD、A1D.因AB1⊥BC1，故AB1⊥CD；又B1C1＝A1C1＝C1D，故∠
